Re: [積分]兩題重積分
※ 引述《alasa15 (alasa)》之銘言：
: a a
: 1. ∫ ∫ [x^2+y^2+h^2]^(-1) dxdy, h is a constant
: -a -a
: a a
: 2. ∫ ∫ [x^2+y^2+h^2]^(-3/2) dxdy, h is a constant
: -a -a
: 有一題是吳銘士400題裡面求電場的積分 (213)
: 因為積分區域不是圓形所以換成極座標很不好算
: 這樣的題目要怎麼解??
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令 x = a*r*cosθ
y = a*r*sinθ
a a 1
S(k) = ∫ ∫ ───────── dx dy
0 0 (x^2 + y^2 + h^2)^k
π/4 secθ (a^2)r π/2 cscθ (a^2)r
= ∫ ∫ ──────── drdθ + ∫ ∫ ──────── drdθ
0 0 [(ar)^2 + h^2]^k π/4 0 [(ar)^2 + h^2]^k
π/4 secθ 2(a^2)r
= ∫ ∫ ──────── dr dθ
0 0 [(ar)^2 + h^2]^k
π/4 secθ 1
= ∫ ∫ ──────── d[(ar)^2 + h^2] dθ
0 0 [(ar)^2 + h^2]^k
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1.
π/4
S(1) = ∫ ln[ (n*secθ)^2 + 1 ] dθ , where n = a/h if h≠0
0
這個定積分跟 Catalan's constant 有關
所以不確定有沒有漂亮的解
若題目改成是 4*S(2) 就可以算出 closed form 了
2.
π/4 1 1
S(3/2) = (-2)*∫ ──────────── - ─── dθ
0 √[ (a*secθ)^2 + h^2 ] ｜h｜
π π/4 cosθ
= ─── - 2*∫ ──────────── dθ
2｜h｜ 0 √[ a^2 + (h*cosθ)^2 ]
π π/4 1
= ─── - 2*∫ ─────────────── d(sinθ)
2｜h｜ 0 √[ a^2 + h^2 - (h*sinθ)^2 ]
π 2 -1 ｜h｜*sinθ θ=π/4
= ─── - ───*sin [ ───────] │
2｜h｜ ｜h｜ √(a^2 + h^2) θ=0
π 2 -1 1/√2
= ─── - ───*sin { ──────── }
2｜h｜ ｜h｜ √[1 + (a/h)^2]
原積分 = 4*S(3/2)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.136
推
04/30 15:10, , 1F
04/30 15:10, 1F
→
04/30 15:12, , 2F
04/30 15:12, 2F
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