Re: [積分] 97台大 4.
※ 引述《GLP (^__________^)》之銘言：
: ※ 引述《xylona (轉學考考生)》之銘言：
: : f(x)=1/(2+e^x)為一遞減函數。令g(x)為f(x)之反函數，則
: : 1/3
: : ∫ g(x)dx =？
: : 1/4
: : 想不到該怎麼解，由於g(x)是f(x)之反函數，所以試過把它寫成
: : g(x)=㏑[(-2x+1)/x]
: : 但是這樣我就不知道該如何積分了。orz
: : 也試著畫過圖，可是畫完還是完全沒頭緒，
: : 請問要用什麼方法才能解出答案呢？
: : 先謝謝… m(_ _)m
: ln2 g(x)*e^(g(x))
: ∫ -------------- dg(x)
: 0 (2+e^(g(x)))^2
: @@ 再來就IBP 很快就出來了@@
台大97年的微b 第四題 看了版友的解釋還是不太明白，不知道有沒有人可以再幫忙
解釋的清楚一點
原題目是
f(x)=1/(2+e^x)為一遞減函數。令g(x)為f(x)之反函數，則
1/3
∫ g(x)dx =？
1/4
法一 (把GLP版友的解法 g(x)用u代替)
u
ln2 u*e
∫ -------------- du
0 (2+e^u)^2
這個看起來相當精簡的式子是怎麼出來的呢？
法二
-1
令y=g(x)= f (x) => f(y) = x
|1/3 1/3
O.E. = xg(x)| - ∫ xd[g(x)]
|1/4 1/4
^^^^^^^^^^^^^
0 0 dy
利用I.B.P 黃色的部份代換為f(y)變成 ∫ f(y)dy = ∫ --------
ln2 ln2 2+e^y
但想不出後面那個要怎麼把值積出來..
（而且反函數的變換感覺有些複雜，搞不太清楚 上下界怎麼變成ln2到0的）
希望版友們能幫忙一下囉 感謝
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