Re: [微分] 如何證明偏微分是否存在？
※ 引述《chemical1223 (康康康康康康)》之銘言：
: xy
: -------- if (x,y) != (0,0)
: x^2+y^2
: f(x,y)=
: 0 if (x,y) = (0,0)
: show that f (0,0) exists and
: x
: show that f is not differentiable at (0,0)
: 第二題我知道要用微分存在的條件下去證明，可是第一題我就不太清楚該怎麼證明了
: 是只要證明出f在(0,0)極限不存在就可以了嗎？還是接著還有別的步驟？
: xy
: lim ---------
: (x,y)->(0,0) x^2+y^2
: 1. 令y=mx
: mx^2
: 2. 原式 = lim -----------
: (x,y)->(0,0) x^2+(mx)^2
: m m
: = lim ----------- = ----------
: (x,y)->(0,0) 1+m^2 1+m^2
: 3. 極限值與路徑有關，因為m非唯一，故極限值不存在 => f (0,0)存在
: x
: 還是說直接用定義求其極限值即可？
: 謝謝大家
你的作法只是說明了此函數 f(x,y) 在原點不連續。因此，這函數在原點一定不可微。
至於偏導數則非如此，偏導數的定義是這樣子的：
f_x (0,0) ＝ lim {f(x,0) - f(0,0)}/x.
x→0
因為 f(x,0) ＝ 0 for all x. 所以上述極限為 0.
也就是說 f_x (0,0) ＝ 0.
NOTE.
根據對稱性 (即此處指 x 與 y 角色對調)，同理可知 f_y (0,0) 也是 0.
這題目告訴我們：所有偏導數於一點之存在並不足以保證此函數於此點可微!
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06/17 04:40, , 1F
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