Re: [單變] 馬克勞林級數
※ 引述《kk990366 (kk990366)》之銘言：
: 求f(x)=ln(1+x)的馬克勞林級數
: x 1
: f(x)=ln(1+x)=∫ --- dt
: 0 1+t
: 1 2 3 4
: --- = 1 - t + t - t + t - .... <----請問這怎麼來的?
: 1+t
1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... where |x|<1 ( 幾何級數公比是 x )
1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ... where |x|<1 ( 幾何級數公比是 -x )
或是將第一式的 x 用 -x 代入即可
: -1
: f(x)=sinx 的馬克勞林級數
: .
: .
: .
: 1 1 2 3 4 5 6
: -----2- =1 + --- x + --- x + --- x + ....<----請問這怎麼來的?
: √(1-x) 2 8 16
二項式定理
(1 + x)^m = 1 + Σ[m(m-1)(m-2)...(m-k+1)]/k! x^k k=1~∞ where |x|<1
1/√(1+x)=(1+x)^(-1/2), m = -1/2 代入上式
1/√(1+x) = 1 + Σ[(-1/2)(-3/2)(-5/2)...[(-2k+1)/2]]/k! x^k k=1~∞
= 1 + Σ(-1)^k [1*3*5*(2k-1)]/(2^k k!) x^k
= 1 - x/2 + 3x^2/8 - 15x^3/48 + ...
將 x 以 -x^2 代入得到
1/√(1-x^2) = 1 + Σ(-1)^k [1*3*5*(2k-1)]/(2^k k!) (-x^2)^k
= 1 + Σ [1*3*5*(2k-1)]/(2^k k!) x^2k
= 1 + x^2/2 + 3x^4/8 + 5x^6/16 + ...
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◆ From: 122.117.40.170
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