Re: [微分] 微分應用
※ 引述《bard3 (吟遊詩人)》之銘言：
: 101 99
: e e
: 判定 99 與 101 之大小
: 2009 2008
: 好像沒辦法用上次高手的妙解法? (2008 > 2009 那題)
: 還是說可以稍微修改呢?
: 我再努力一看好了
: 謝謝大家
提供另外一種解決方法
[proof]
x
設 f(x) = e
-------- , domf = (0,∞) - {1}
lnx
x x
則 f'(x) = lnx x e - e x 1/x
----------------------
(lnx)^2
x
e (lnx -1/x)
= -------------------- --(1)
(lnx)^2
再設 g(x) = lnx - 1/x , domg = (0,∞)
則 g'(x) = 1/x + 1/x^2 > 0 for all x belong to (0,∞)--(2)
由(2) 知 , g在 (0,∞) 上 嚴格遞增 --(3)
由(3), for all x belong to (e,∞),
g(x) > g(e) = lne - 1/e = 1-1/e > 0--(4)
由(4)及(1)知,f'(x) > 0 for all x belong to (e,∞)--(5)
由(5)知,f在 [e,∞) 在為嚴格遞增
因為 f在 [e,∞) 上嚴格遞增
而99< 101
所以 f(101) > f(99)
即 e^101 e^99
------- > -------
ln101 ln99
所以 e^101x ln99 > e^99 x ln101
101 99
e e
所以 ln99 > ln101
101 99
e e
所以 99 > 101
Q.E.D.
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最近重讀的書
http://www.wretch.cc/blog/arbitrager/22398054
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02/04 01:05, , 1F
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