Re: [微分] 羅必達法則
※ 引述《arbitrager (自由之身)》之銘言：
: ※ 引述《Arcarco ()》之銘言：
: : (1+x)^(1/x) - e
: : lim -------------------
: : x->0 x
: : 求極限，答案是 (-1/2)e
: : 謝謝
: 羅比達應該也可以 是不是微三次 我等等試看看
: <果然是微分三次XD>
: 我直覺想到的方法是:
: 你定義一個新的分段定義函數: 令F(x) = (1+x)^(1/x) , 當x不等於 0
: F(x) = e , 當x 等於 0
: 如此定義 你也可以證出 F(x) 在 x=0處連續 [ lim F(x) = F(0) ]
: x-->0
: 原極限 = lim F(x) - F(0)
r: x-->0 ----------- = F'(0) (微分的最初定義)
: x - 0
: 所以微一次就可以了 (結果還是要用羅比達XD)
: F(x) = (1+x)^(1/x)
: 令y = F(x) = (1+x)/(1/x)
: 則lny = (1/x) ln (1+x) - (*)
: (*) 兩邊對x微分 得到
: 1/y dy/dx = (1/x)(1/1+x) + ln(1+x)(-1/x^2)
: dy/dx = (1+x)^(1/x) [ (1/x)(1/1+x) -(1/x^2)ln(1+x)]
: x-(1+x)ln(1+x)
: F'(0) = dy/dx|x=0 = e [ lim ---------------- ]
: x-->0 x^2 (1+x)
: = -e/2
計算的部份我沒意見
不過 , 你求這個極限時是用 F'(x)當x->0的極限值(原本要求 F'(0))
這樣除非 F 是 C1 (continuously differentiable) 函數 , 不然不保證對吧 ?
有錯請指教
: x-(1+x)ln(1+x)
: 其中 lim ------------------- = -1/2 計算如下
: x-->0 x^2(1+x)
: (L'H) 1-[1+ln(1+x)]
: = lim --------------------
: x-->0 3x^2 + 2x
: (L'H) -(1/1+x)
: = lim ------------------
: x-->0 6x + 2
: = -1/2
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◆ From: 122.127.99.192
推
01/10 19:48, , 1F
01/10 19:48, 1F
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