Re: 初學極限證明懇請指點~

看板trans_math作者yhliu (老怪物)時間18年前 (2008/01/24 13:34)推噓2(2推 0噓 7→)

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※ 引述《nimura14 (再見了，親愛的。)》之銘言： : ※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言： : : For any ε>0, 你要證明 : : 存在 δ>0 使得 (0<|x-2|<δ ==> |x^2-4|<ε) : : 所以, 目標是要找出使 |x^2 - 4|<ε 的充分條件, 用 : : "0<|x-2|<δ" 表示. : : 由於 |x^2 - 4| = |x+2|‧|x-2|, 顯然必須設法先控制 : : |x+2| 的大小, 以便能藉由控制 |x-2| 來控制 |x^2-4|. : : 由於談的是 x→2, 因此不妨限制考慮範圍 |x-2|<1, 即 : : 1<x<3. 這樣限制的話, 保證 |x+2|<3, 從而 : ^^^^^^^^ : 1<x<3的話,那不是應該是 3<x+2<5, |x+2|<5 是這樣嗎? 對! 似乎當時已有人指正了? : 為什麼要取3? 我這邊一直搞不懂抱歉! 因頭腦不清寫錯害你看不懂. 我以為那個錯誤很明顯看的人很容易可以自動修正的. : : |x^2 - 4| ≦ 3|x-2| : : 因此只要能保證 0<|x-2|<ε/3 且 |x-2|<1, 即能保證 : : |x^2 - 4|<ε. : : 給一個任意的e>0,就存在 d=d(e)>0 : 使得當 0<|x-2|<d 的時候 |x^2-4|<e 這是你要證明的. : : |x^2 - 4| = |x+2|‧|x-2| < e ........... (1) : : 設|x-2|<1 => 1<x<3 => 3<x+2<5 => |x+2|<5 : : 5‧|x-2|< e => |x-2|< e/5 -----> d 代回去 (1) 裡 ^^改成 "<==>". (Why?) ^^這個 d 是有點問題的. 另外, 這樣的寫法不好. 令 d = min{1,e/5} 則: 當 0<|x-2|<d 時得 : : |x^2 - 4| < 5‧e/5 => |x^2 - 4| < e 得證 ^^^^^^^^^^^^^^^^^ 直接 "=e" 就好了! 雖然你這樣寫也沒錯! : : : 上面是我自己寫的 : 考試時這樣寫可以嗎? : 我還是覺的有點怪怪的... : : 有那些地方有錯或是有要修改的嗎? : 煩請板上的高手們教育一下謝謝 Q_Q : : 主要是 "5‧|x-2|< e => |x-2|< e/5 -----> d" 這敘述. (1) 我建議把 "=>" 改成 "<==>", 其實本來的推論是: 為了使 5|x-2|<e, 必須 |x-2|<e/5. 也就是說, 你需要的敘述是 5‧|x-2|< e <== |x-2|< e/5 (2) "e/5 -----> d" 這種 "示意" 符號不是通用的. 不同人, 不同場合可能用它來表示不同意思. 但你的意思應是 "取 d=e/5", 為甚麼不這麼寫? 而且後面那個 "代回..." 的說明也可以免了. 考試時, 一方面是時間限制, 另方面你寫得太囉唆閱卷者可能被弄混了. (3) 取 d=e/5 是不夠的, 因為先前做了限制 |x-2|<1. 因此取 d=min{1,e/5}, 則 0 < |x-2| < d ==> |x-2|<1 且 0<|x-2|<e/5 要導出 |x^2-4|<e 需要同時滿足上列右邊兩個條件. -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 163.15.188.87

推

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