Re: [考古] 90台大
※ 引述《spysea ()》之銘言：
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/undergra/90/90020.htm
: 請問一下各位大大
: 第3.8.9.11題要怎嚜算呢
: 謝謝解答
二、計算題
II 若 M = x - y^3 , N = y^3 + x^3 , C：r(θ) = (x,y) = (cosθ,sinθ) ,
而 0 ≦ θ ≦ 2π , 求線積分 ∮ (M dx + N dy) 之值 , 其中積分的方向為沿著
C
C逆時鐘行走。
解: ∮ (M dx + N dy)
C
δN δM
= ∫∫ (------ - ------) dxdy , 其中R = {(x,y)|x^2 + y^2 ≦ 1}
R δx δy
δ δ
= ∫∫ (-----(y^3 + x^3) - -----(x - y^3)) dxdy
R δx δy
= ∫∫ (3)(x^2) - (-3)(y^2) dxdy
R
= ∫∫ (3)(x^2) + (3)(y^2) dxdy
R
= ∫∫ (3)(x^2 + y^2) dxdy
R
2π 1
= ∫ ∫ (3)(r^2)(r) drdθ
0 0
(令 x = (r)(cosθ) , y = (r)(sinθ) , 則 |J| = r)
2π 1
= ∫ ∫ (3)(r^3) drdθ
0 0
2π 3 |r = 1
= ∫ (---)(r^4) | dθ
0 4 |r = 0
2π 3 3 |2π 3
= ∫ --- dθ = (---)(θ) | = (---)(π)
0 4 4 |0 2
有錯請指正
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