Re: [積分] 請教一些積分問題
※ 引述《ting301 (白算盤)》之銘言：
: ∫∫ (x^2 + y^2) dxdy , D = {(x,y)屬於R^2,(x-3)^2 + y^2 = 3^2 }
: D
: -(x^2 + 4y^2)
: ∫∫ e dxdy , D = {(x,y)屬於R^2, x^2 + 4y^2≦1 }
: D
: Evaluate the area enclosed by
: 2 2 2 2
: x y x y
: --- + ---- = 1 and ---- + --- = 1
: 9 16 16 9
: 多謝了
求相交面積那題
我提供一下我的想法好了
你在xy坐標畫這個方程式的圖形
就會發現這兩個圖相交的區域在第一象限有 y = x 通過這兩個圖形相交的點
所求的面積為兩個圖形相交的區域在第一象限被 y = x 劃分的下半部的8倍
令 x = (r)(cosΘ) , y = (r)(sinΘ) , 則
x^2 y^2
----- + ----- = 1
9 16
1 1
=> (---)(r^2)((cosΘ)^2) + (----)(r^2)((sinΘ)^2) = 1
9 16
1 1
=> (r^2)((---)((cosΘ)^2) + (----)((sinΘ)^2)) = 1
9 16
(16)((cosΘ)^2) + (9)((sinΘ)^2)
=> (r^2)(----------------------------------) = 1
144
144
=> r^2 = ----------------------------------
(16)((cosΘ)^2) + (9)((sinΘ)^2)
所求面積為
π/4 1
A = (8)(∫ (---)(r^2) dΘ)
0 2
π/4 144
= (4)(∫ ---------------------------------- dΘ)
0 (16)((cosΘ)^2) + (9)((sinΘ)^2)
π/4 (secΘ)^2
= (576)(∫ --------------------- dΘ)
0 16 + (9)((tanΘ)^2)
1 1
= (576)(∫ --------------- dt)
0 16 + (9)(t^2)
(令 t = tanΘ , 則 dt = (secΘ)^2 dΘ)
(Θ = 0 => t = 0 , Θ = π/4 => t = 1)
1 1 1
= (576)(----)(∫ ------------------- dt)
16 0 1 + ((9/16)(t^2))
1 1
= (36)(∫ ------------------- dt)
0 1 + ((9/16)(t^2))
4 -1 4 |1
= (36)(---)(tan ((---)(t))) |
3 3 |0
-1 4
= (48)(tan (---))
3
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討論串 (同標題文章)
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