Re: [級數] 想法請益
※ 引述《GayerDior ( 後庭內已自酥麻 ~_~)》之銘言：
:∞ ln(n)
:Σ -------
:n=1 n^2
這一題不一定非得取 b_n= n^(-3/2) 不可
你也可以取 b_n= n^(-4/3) (也符合p>1的收斂級數Σb_n)
一樣可以得到 lim (a_n/b_n) = 0 -----(A式)
n→∞
以此類推... 所以書上取 b_n= n^(-3/2) 是範例, 也是為了便利計算吧
不管是取 n^(-3/2), n^(-4/3) 或 n^(-5/4) 也好, 都可以滿足 (A式)
其實可以做個假設, 取b_n= n^(-k), k>1 若滿足 (A式) 來討論 k 值
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使用一次羅比達法則可得 => (2-k)*lim ---------- = 0
n→∞ n^(2-k)
由式子看來, 似乎 (2-k)>0 => k<2 => 1< k <2 這個結果就是我們要的答案
但是, 這樣會忽略了 2-k→0+ 即 k→2- 的這個情況, 真的有滿足 (A式)嗎?
我們可以從 lim n^(-1/n) = exp[lim (-ln(n)/n)] = 1 得知
n→∞ n→∞
當 2-k→0+ 時是不能滿足 (A式) 的, 所以取 k 值時要遠小於2,同時也大於1
當然我們不可能自找麻煩, 取一個不易計算且或是有爭議性的b_n吧!
以上只是個人提供的一個判斷手段, 不足以成理論, 僅供參考
至於第二題, 我也就不用再贅述了... :)
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※ 編輯: axis0801 來自: 61.62.121.187 (01/25 18:37)
推
01/25 18:47, , 1F
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