Re: [級數] 想法請益
※ 引述《GayerDior ( 後庭內已自酥麻 ~_~)》之銘言：
: ∞ ln(n)
: Σ -------
: n=1 n^2
:
: 請教一下這題判別斂散性的題目
:
: 解答上面是藉由極限比較法取得b_n = n^(-3/2)
: ^^^^^^^^^^
: 雖然說這題可以用p-series test輕易的就知道是收斂
:
: 但我還是想知道，解答由極限比較法取得的b_n = n^(-3/2)是如何來的？
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
首先有個認知: ln(n) 是上升的, 但比任何 n^p,p>0, 上
升的速度要慢. 因此一看題目就知這是收斂的級數. 再來
就是正式地把論證寫出. 而 "一看就知收斂" 的基礎是甚
麼? 當然是因 "ln(n)<n^p, for p>0, n 夠大". 所以
ln(n)/n^2 < n^p/n^2, 取 0<p<1
因此可知正式證明可以:
令 b_n = 1/n^r (其中 r=1-p, 0<p<1, 故 1<r<2)
當 n 夠大時, a_n<b_n (或 lim a_n/b_n = 0)
所以...
由以上可知
Σ(ln n)^p/n^q 收斂, if q>1
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推
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