Re: [積分]重積分政大93應數
※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言：
: ※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言：
: : 5 √(25-x^2) √(25-x^2-y^2)
: : ∫∫ ∫ 1/(1+x^2+y^2+z^2)dzdydx
: : 0 0 0
: 以下是研究過後寫的解法...不知道對不對,因為φ和Θ的積分範圍我不知道對不對
: ,應該如何選則呢,高手幫忙看一下吧,謝謝!
: 令x=ρsinφcosΘ; y=ρsinφsinΘ; z=ρcosφ
: Jacobian=(ρ^2)sinφ x^2+y^2+z^2=ρ^2
: 2π π 5
: 原式=∫ ∫ ∫ (1/ρ^2)*(ρ^2)sinφdρdφdΘ
: 0 0 0
: 2π π 2π
: =∫ ∫ 5sinφdφdΘ =∫ 10 dΘ =20π
: 0 0 0
這一題的Θ和φ的範圍取錯了
應該是 0≦Θ≦π/2 , 0≦φ≦π/2
π/2 π/2 5 (ρ^2)(sinφ)
因此原式 = ∫ ∫ ∫ ----------------- dρdφdΘ
0 0 0 1 + ρ^2
π/2 π/2 5 ρ^2
= (∫ 1 dΘ)(∫ sinφ dφ)(∫ ---------- dρ)
0 0 0 1 + ρ^2
π 5 1
= (---)(1)(∫ 1 - ---------- dρ)
2 0 1 + ρ^2
π -1 |5
= (---)(ρ - tan ρ | )
2 |0
π -1
= (---)(5 - tan 5)
2
: : 還有這題
: : ∫∫y/(x^2+y^2)dA,where R is the triangle bounded by y=x,y=2x,x=2
: : R
: : 請高手幫忙,謝謝!
: 這題則是寫成
: 2 y 4 2
: ∫∫ y/(x^2+y^2)dxdy + ∫∫ y/(x^2+y^2)dxdy
: 0 y/2 2 y/2
: 2 |y 4 |2
: =∫ arctan(x/y)| dy + ∫ arctan(x/y)| dy
: 0 |y/2 2 |y/2
: 2 4
: =∫ π/4 - arctan(1/2)dy + ∫ arctan(2/y) - arctan(1/2)dy
: 0 2
: 4
: 然後 ∫ arctan(2/y)dy 用令u=arctan(2/y)代入,再用分部積分如下
: 2
: 4 arctan(1/2) |arctan(1/2) |arctan(1/2)
: ∫arctan(2/y)dy = 2∫ - u(cscu)^2 du =2(ucotu| + ln|cscu|| )
: 2 π/4 |π/4 |π/4
: =4arctan(1/2)-(π/2)+ln(5/2)
: 而原式則成為 π-(π/4)+4arctan(1/2)-(π/2)+ln(5/2)-(π/4)=4arctan(1/2)+ln(5/2)
: 即為答案
: 打了很久,也算了很久,真的希望好心的大大幫我看看對不對,謝謝!
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◆ From: 140.119.27.59
推
06/07 18:49, , 1F
06/07 18:49, 1F
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