Re: [請益] 一題條件機率
※ 引述《dunhillman (能牽起妳的手 是幸福)》之銘言：
: 小的我來版上 向各位先進求救了！
: 今日遇到一題條件機率
: 我所算得的答案 與標準答案不同
: 故想請教版上高手
: 題目如下：
: 一袋中有二黃球、三綠球、四紅球，逐一取出不放回
: 請求出紅球最先被取完之機率
題目問 "紅球最先被取完之機率" 並無 "條件" 在內, 而
標題說是 "條件機率", 是否暗示要採用條件機率解題?
首先: 若只有兩色球, a 個 A, b 個 B, 則
P(A先取完) = P(B先取到)
這可以用 a+b 個球隨機排成一列來想:
A 先取完 == B 後取完 = 倒數第一個球是 B.
故
P(A先取完) = b/(a+b)
現考慮 m 個 Y, n 個 G, p 個 R 的問題.
P(R先取完)
= P(R先取完|最後一球是Y)P(最後一球是Y)
+ P(R先取完|最後一球是G)P(最後一球是G)
其中
P(R先取完|最後一球是Y)
= P(Y不論, R比 G 先取完 | 最後一球是Y)
= n/(n+p)
而
P(最後一球是Y) = m/(m+n+p)
故
P(R先取完)
= n/(n+p) m/(m+n+p) + m/(m+p) n/(m+n+p)
= mn/(m+n+p) [1/(m+p) + 1/(n+p)]
本例
P(紅球先取完)
= (2)(3)/(2+3+4) [1/(2+4) + 1/(3+4)] = 13/63
又
P(黃球先取完)
= (3)(4)/(2+3+4) [1/(3+2) + 1/(4+2)] = 44/90
P(綠球先取完)
= (2)(4)/(2+3+4) [1/(2+3) + 1/(4+3)] = 32/105
而
13/63 + 44/90 + 32/105 = 1
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