Re: [討論] 關於微積分的公式
※ 引述《likii (Likii)》之銘言：
: 各位好，第一次在這版發文～^^
: 是這樣的，最近在準備插大考試，有微積分這個科目
: 最頭痛的就是公式很難背
: 我指的公式是一些基本的微分積分公式
: 如
: 1 -1
: ∫-------- dx = tan x +C
: 1+x^2 這種
: 不知道為什麼總是記不住（因為都長得很像吧=_=）
: 當初在學微分的時候也會推導，可是就是記不住
: 總而言之就是有理解，可是臨時又寫不出來
: 總不能在寫考卷的時候
: 又馬上在旁邊畫圖還是什麼的重新推導吧
: （以前算三角函數都用畫圖記，都覺得有點慢了，更何況是重新推公式...）
: 時間會不夠的……Orz
: 請問各位有沒有什麼方法可以記憶這些公式呢ˊˋ
: 感謝不盡～～
為什麼要記？
y = arctanx
tany = x
2
sec y * y' = 1
y' = 1/(secy)^2 = 1/[1 + (tany)^2] = 1/(1+x^2)
-1
∴∫y'dx = ∫dx/(1+x^2) = y = tan x
-1
無聊時可以自己試試看∫tan x dx = ?
技巧有部分一樣，又有點不一樣，反正這沒有相當難就是了^^"
同理可得對arcsinx、arccosx、...的積分答案
我覺得比較需要點技巧的只有∫secxdx而已，這跟找積分因子是差不多感覺。
---
如果你學過複變，那麼你也可以用另一種思考來想這題
不過複變的想法..在這裡不能解決不定積分，必須是暇積分才行，
---
如果積分範圍從0到∞，那麼從複變的角度就是有個複數z
他從(0,0)沿著實數軸積分到+∞，接著再繞個R=∞的半圓回來到-∞
此時再繞回(0,0)
重點有兩個
1.此積分路徑包含到你的問題
2.此積分路徑算的出答案
這是為什麼有這路徑的原因，能算出答案的路徑其實並沒有相當多種。
參考：http://0rz.tw/ALASO
此時f(z) = 1/(1+z^2)，找它在剛剛積分路徑所圍的區域裡的residue
所以在積分範圍內的奇點就是+i，留數值就是1/2i
------
-1
1/(1+z^2) = 1/(z+i)(z-i) = [1/(z+i)] * (z-i)
b1 = 1/(z+i) = 此f(z)以z=i為展開中心做Laurent series展開的-1次冪項係數
b1(z=i代入) = f(z)在z=i的留數值
------
n
∮f(z)dz = 2πi*Σ Res(zk) = 2πi * (1/2i) = π
k=z
而在R=∞的半圓弧上，θ從0到π，這個積分可以被證明得知為零。
證明方法不會太難，你把要積分的東西用極座標表示，接著掛上lim(R->∞)
就可以發現是零了。
那因為它是偶函數，所以-∞ -> 0 -> +∞ = 2 * 0 -> +∞
+∞ +∞
所以 ∮f(z)dz = π = ∫dx/(1+x^2) = 2*∫dx/(1+x^2)
-∞ 0
+∞
所以 ∫dx/(1+x^2) = π/2
0
-----------------------------------
複變有本書還不錯，書名好像就是complex variable，作者是churchill
這本淺顯易懂，我之前暑假花2個禮拜就讀完7章了，沒做後面練習題，但是
前面的example我都有做，也是每一個字慢慢看，還不錯。
-----------------------------------
觀念通，什麼都通
觀念不通....很多都不通了
有空時就自己推導這些東西，多想那個"邏輯"
搭公車可以想、走路可以想、上廁所也可以想..想通之後就會發現微積分很神奇
如果有學過複變，那更會發現這真是有夠美的
這些東西不是說一定要每天花1hr坐在書桌前才能弄懂
只要你肯利用只有腦袋能思考、卻沒事情做的時間，那就夠了～
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.249.233
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (10/21 23:54)
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (10/21 23:56)
推
10/21 23:55, , 1F
10/21 23:55, 1F
推
10/22 00:10, , 2F
10/22 00:10, 2F
嗯？複變是我自己讀的呀@@"
To: digimaster
謝謝你的建議，我之後一定會找時間來讀讀那本的A_A
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (10/22 01:21)
推
10/22 11:56, , 3F
10/22 11:56, 3F
→
10/22 15:51, , 4F
10/22 15:51, 4F
推
10/22 15:59, , 5F
10/22 15:59, 5F
→
10/22 22:43, , 6F
10/22 22:43, 6F
→
10/22 23:31, , 7F
10/22 23:31, 7F
我補充一下好了，也許會有人看見&發現我沒講清楚
並不是所有函數照著那種路徑繞就行了，什麼意思？
原題是求0->∞，但是我用複變的方法來看，就只能從-∞->∞
跟我要的積分範圍不同，因此我用了偶函數的特性。
所以如果他是奇函數，那就會相消=0，根本就不必搞複變^^"
--
∞
如果他不奇不偶呢？How about ∫dx/(1+x^3) ?
0
此時我就要將z變為極座標型式來講，讓它變成"可以將某路徑
跟我要的問題扯上關係"
let z = r*exp^(iθ)
z^3 = r^3 * exp^(3iθ)
當你從(0,0)積分到(∞,0)時(路徑C1)，θ皆為零
∞
所以此時∫dz/(1+z^3) = ∫dr/(1+r^3)
C1 0
接著一樣是繞r=∞的圓弧，不過...這次不是繞半圓弧了
我們目的要讓"後來繞回原點的那段路徑積分，與C1路徑積分出來的答案有關"
假設繞到θ=α時，從該點走回(0,0)，此時θ恆為α，只是r從∞變為0
0
所以此時∫dz/(1+z^3) = ∫exp(iα)dr/[1+r^3*exp(3iα)]
∞
重點來了，怎樣扯關係呢？
嗯，只要exp(3iα)=1.....那麼分母就變為(1+r^3)了
所以，若要讓exp(3iα)=1，那α就會一定是2π/3，有人會問說為什麼沒補2nπ？
因為這跟branch有關....多值函數是無法做微分與積分的，這又是另外一個故事了..
我們所做的複變微積分，通常都會給定在某個分支上，也就是有明確的定義域，
才會去做微分與積分的動作。
總之，此時此刻...就扯上關係了，然後就變成是
∞ n
∮f(z)dz = (1-exp(i*2π/3))∫dx/(1+x^3) = 2πi* ΣRes(Zk)
0 k=1
剩下的就自己算哩
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (10/24 00:23)
推
10/25 07:13, , 8F
10/25 07:13, 8F
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
討論
12
50
以下文章回應了本文：
討論
15
67
完整討論串 (本文為第 2 之 9 篇)：
討論
12
50
討論
8
29
討論
6
26
討論
11
11
討論
15
67
討論
13
15