Re: [考試] 微積分(張志中班)
: 順便問一下第六題
: 就是一個圓繞X軸轉的那題
: 有人會解嗎？
: 我寫出積分式後就不會積了！
題目：
曲線 x^2 + (y-b)^2 = a^2 (圓)內部區域對X軸旋轉，形成的Mr. Donut體體積為何？
(b > a > 0)
答：
使用薄圓柱殼積分法
取X軸為薄圓柱殼的中軸，圓點為圓柱正中心點，內半徑為y，柱高為2x，厚度為dy
則薄圓柱殼體積 dV = 2πy * 2x * dy = 4πyx dy
而 x = ( a^2 - (y-b)^2 )^0.5
得 dV = 4πy * [( a^2 - (y-b)^2 )^0.5] * dy
接著，觀察到y是從 b-a 增加到 b+a
故 b+a
旋轉體體積 V = 4π∫ y * [( a^2 - (y-b)^2 )^0.5] * dy
b-a
取 y = a cos(t) + b => dy = -a sin(t)dt
( a^2 - (y-b)^2 )^0.5 = a sin(t)
而要注意當 y 從 b-a 到 b+a 時，t 會從 π 到 0
π
故V = 4πa^2∫ (a cos(t) + b)*sin^2(t)dt
0
π π
= 4πa^2 {a∫sin^2(t)cos(t)dt + b∫sin^(t)dt }
0 0
π π
= 4πa^2 {(a/3) (sin^3(t))| + (b/2)∫(1 + cos(2t))dt }
0 0
π
= 4πa^2 {(a/3)( 0 - 0 ) + (b/2)(t + (1/2)sin(2t))| }
0
= 2πb * (a^2) * {π + 0 - 0 - 0 }
= 2(π^2)(a^2)b
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