Re: 自然數和整數一樣大的證明
簡單說兩句，用語言來解釋數學往往是不準的
比如大小的問題，數學上是不用大還是小這種模糊的字眼的
一般日常生活中比某集合大小的方法，
一種是包含關系
如果A包含B，那麼A至少不比B小，若A中除了有B還有別的東西，那麼A比B大
這個想法很簡單，而且用這種觀點來看整數是比自然數大的。因為自然數只是
整數的真子集。進一步說就是有一個函數，每個B都對應一個A，但A中有的沒有B中的對應
所以A比B大
所以就談到對應關系
如果能把A和B中的全部東西一對一的對起來，那麼A和B是一樣大的，
這裡就可以構造一個這種簡單的函數讓自然數和整數對應起來。
方便起見這裡自然數包含0，
做如下對應
我們知道自然數都能寫作2n-1和2n的形式（非奇即偶）
自然數 整數
2n-1 ---------- n
2n -n
很明顯，這裡的對應是一對一的而且每一個都可以對。
而日常生活中這兩種對我們來說沒有太多的問題，如果有第一種情況，第二種是顯然的
那是因為生活中遇到的都是有限的東西，就不存在這種問題。
對于後一種對應關系，我們用cardinal number即基數（或勢）來表示集合元素個數的多少
而我們日常用的自然數本質上就是這個東西，如3，他代表所有能夠和集合
{a，b，c}一一對應的集合的全體，而把這些集合抽象出來就是為了便于比較
邏輯鏈如下
A B
蘋果，蘋果，蘋果 ? 蘋果，蘋果
| | |
| | |
3 > 2
而前一種是
A.蘋果 蘋果 蘋果
| | | A>B
B.蘋果 蘋果 （無）
這些，人們往往是用在有限范圍內的。
所以由經驗會有若滿足第一種情況必然有第二種情況的經驗想法
但數學不講經驗，只講邏輯。
（為啥經驗只能在有限中有用，數學可以証明，這要牽涉到一些更高的概念）
對于自然數和整數這種無窮，我們用一個基數 表示（打不出來，是個希伯來字母，
念阿列夫0，因為cantor想紀念下自己的祖宗）
好了，那麼無窮是不是就只有阿列夫0這一種呢?即所有的無窮都可以和自然數一一對起來
不是的，比如實數的數量就比自然數多，即任何一個函數都無法使這兩個一一對起來
總會有些實數對不上去，這是個很簡單而精巧的証明
（大概思想是將實數用2進制0，1小數表示，任找一個從自然數到實數的函數f，
把每個自然數的像f(n)的值
取一部分小數位（如f（n）取第n位an），然後構造這個實數，讓這個實數每個小數位
上的數bn都不等于所對應的an，然後構造的這個數無論哪個自然數映過去都在某一位
和他不等，即有實數這個函數映不到）
最後，那無窮大有多少種，一個叫Cantor-Bernstein定理告訴我們有無限種
這個定理告訴我們，任何一個集合A，他的所有的子集合所構成的集合B（A的冪集）
B的基數必然比A多，所以不斷的取自己的冪集，就能得到越來越大的無窮大這樣
※ 引述《aletheia (cOnJeCTuRe)》之銘言：
: ※ 引述《aletheia (cOnJeCTuRe)》之銘言：
: : 標題: Re: [閒聊] 石頭論證B版
: : 時間: Sun Oct 12 13:45:37 2008
: : 推 krisnight:囧我想到痛苦的集合論 10/12 14:23
: : 推 artyman:有趣的是 康托後來表示他是受到上帝的幫助 才證明出這定理 10/12 15:19
: : → aletheia:查過了 整數和自然數一樣大的證明 是康托第一個證的 10/13 00:34
: : 推 A1Yoshi:不如來討論那個證明吧。還蠻好玩的說～ 10/13 02:23
: : → aletheia:是說Schroder-Bernstein Theorem嗎 10/13 15:25
: : 推 zoneline:我也想看那個證明 推一個!!!! 10/14 00:27
: 我在logic板寫了一篇關於Schroder-Bernstein Theorem的證明
: 如果有Schroder-Bernstein Theorem的話
: Ｚ和Ｎ一樣大的證明頗簡單,如下:
: 給定 f:Ｚ->Ｎ , f(n)=n
: g:Ｎ->Ｚ , f(n)=|n , if a>b
: |-n , if a<b
: 根據Schroder-Bernstein Theorem,那麼Ｚ和Ｎ為equinumerous
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 58.25.156.146
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