[心得] 非自消盤面最高首消combo數的最小值
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《問題》任給一個非自消盤面,其最高首消數至少幾combo呢?
《答案》至少4combo,若剛好4combo則此盤面恰好是同色珠20個、其他5色珠各2個。
因此若非上述盤面,則至少5combo。
解釋:1.非自消盤面:盤面沒有3連珠。
2.最高首消combo數:只算首消且取最大可能,不算疊珠。
3.舉例:15暗、3水、3火、6木、3光
●●●●●● ●●●●●●
●●●●●● 最高首消 ●●●●●●
●●●●●● → ●●●●●●
●●●●●● ●●●●●●
●●●●●● ●●●●●●
非自消盤面 最高首消10combo
《發現經過》:(以下所稱"盤面"皆為非自消盤面、最多6色珠、格式:橫6 X 縱5)
首先 aardvark 在...被ptt吃掉的那篇推文提出:盤面最多可容納多少個同色珠?
之後 wlkb0000 給出了一個20個同色珠的盤面 http://tinyurl.com/lclq5yx
(題外話:這盤面幫助很大,不僅提供了 aardvark 的問題的最大值猜測,而且在本定理
也提供了最小值的猜測。),因此去猜測不可能存在21個以上(含)同色珠的盤面,
也順利證完。
再來回到原本問題,我很久之前就自問過了,但是情況太複雜了,就沒有繼續想。但經由
aardvark 的問題解決後,以及 wlkb0000 這個盤面,讓原本問題燃起希望,讓我猜測
這個最高首消最小值就是4(能證出真的存在某盤面的最高首消combo剛好就是4最好,
即是下方第2點的情況),只要把其他10個雜色珠各做2個。因此證明只剩兩個步驟:
1.不存在最高首消0,1,2,3combo的盤面。
2.20個同色珠,其他10雜色珠,同色珠最高切成首消4combo。
(不管雜色珠combo,因為5色皆2個不會提供額外combo。)
起初我先想第2點,覺得第1點比較難,而昨晚 wlkb0000 說第1點已有idea,因此我專攻
第2點,但試了很多分析,包括:思考隔離combo的關鍵、先放20個同色珠、先放其他10個
雜色珠、每1combo的珠量與排法、與18個同色珠盤面做比較、差1個雜色珠的combo數影響
、差1個同色珠的combo數影響.....族繁不及備載,失敗!
後來我轉向第1點,果然蠻好證的,但還是要以第2點為已知....所以問題還是回到第2點。
之後睡前被我找到一個關鍵:逆向操作,以15個同色珠為比較對象,成功!
最後加碼證出,最高首消數為4combo的盤面只有這個情況:20個同色珠,10個雜色
珠各2個。也就是說,只要盤面不是20,2,2,2,2,2這個情況,一定最高首消5
combo以上(含)。
不免俗的...特別強調一下
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=== 下一頁開始可能導致任何不適感,慎入!===
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=== 下一頁開始可能導致任何不適感,慎入!===
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=== 下一頁開始可能導致任何不適感,慎入!===
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【定義】 1.以下所指"盤面"皆為非自消盤面。
2.以下所寫A,B,C,D,E,F分別代表6色珠以及其個數。
3.以下所寫X不一定同色。
4.以下所寫"以上"、"以下"皆代表"含"。
【定理】(A-W-Z六色盤面首消定理)
任一非自消盤面的最高首消combo數最少有4combo。
且剛好4combo的時候 若且為若 珠量分佈為:20個同色珠、其他5色珠各2個。
誠如之前所說,需要先證明一些引理才能證明這個定理。
【引理1】15個同色珠,其他15雜色珠,同色珠最高切成首消5combo,
且達5combo時排法只有兩種:
(以A為15同色珠、X為其他雜色珠,X間不一定同色)
(一)AAAXXX (二)XXXAAA
XXXAAA AAAXXX
AAAXXX XXXAAA
XXXAAA AAAXXX
AAAXXX XXXAAA
證明:若6combo以上則此同色珠數量為18個以上,矛盾。
因此最多5combo以上,而由(一)、(二)印證了5combo的存在性。
至於只有這兩種排法的證明再此不贅述,先排除縱向的方式比較好證,之後窮舉。
【引理2】(即為 aardvark 的問題與證明。)
盤面每色珠數量為20個以下(等價於:盤面任5色珠數量總和10個以上)
證明:等價敘述顯而易見,僅證明前者。
假設存在某色珠A,數量為21個以上,
觀察盤面:
111222
333444
555666
777888
999VVV
則111中必存在1個色珠不為A,否則會構成自消盤面,同理其他9組都含1個色珠
不為A,因此至少含有10個色珠不為A,即A色珠數量為20個以下,矛盾。
【引理3】盤面20個同色珠,同色珠最高切成首消4combo。
證明:假設其最高首消combo數為5以上(令20個同色珠為A)
則A色珠分布情形為:
3 3 3 3 3 5
其中:1."3"代表至少3個為1combo消除
2."5"代表:(a)可能些許自體形成消除
(b)可能些許分給"3"一起消除
(c)可能些許沒被消除
再來即是顯而易見的關鍵:將此5個珠子用B色珠代替,A色珠首消combo數不變。
因此形成了:15個A色珠且A色珠首消5combo的A色珠不自消盤面。
接著利用【引理1】,只有(一)、(二)兩種可能,只討論(一),(二)同理
由(一)的形式:AAAXXX
XXXAAA
AAAXXX
XXXAAA
AAAXXX
得知只要把"那5個以B色珠代替"的珠子還原回去A,即可得到原來盤面,但換回去
的過程不可減少A色珠首消combo數。
由上圖紅色的X註明是換了會減少A色珠首消combo數的位置,得知僅剩4位置可容納
5個A色珠,矛盾。
以上3個引理證明完畢,接著可以證明本定理。
【定理證明】假設存在某盤面其最高首消combo數為n
┌───┐
│Step I│
└───┘
(1) n=0:則A,B,C,D,E,F≦2,矛盾。
(2) n=1:不失一般性,假設此1combo正是A,則A≧3
且B,C,D,E,F≦2(若否,不失一般性假設B≧3,可排成:AAABBB
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
至少2combo,矛盾。)
因此B+C+D+E+F≦10,得知A≧20,再由【引理2】知道A=20,再由【引理3】
知道至少4combo,矛盾。
(但是從B,C,D,E,F≦2其實可得此盤面正是A=20,B=C=D=E=F=2,因此剛好4combo
,因為雜色珠不會貢獻combo。)
(2) n=2:
(a) 2combo同色:不失一般性,假設此2combo正是A,則A≧6
且B,C,D,E,F≦2
(若否,不失一般性假設B≧3,可排成:
AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入,因為【引理2】確保A以外的色珠
BBBXXX 為10個以上,目前用了X+B=4,因此至少3combo,矛盾。
AAAXXX
XXXXXX
XXXXXX )
因此B+C+D+E+F≦10,得知A≧20,再由【引理2】知道A=20,
再由【引理3】知道至少4combo,矛盾。
(b) 2combo異色:不失一般性,假設此2combo正是A,B,則A,B≧3
且C,D,E,F≦2
(若否,不失一般性假設C≧3,可排成:AAABBB
CCCXXX
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX
至少3combo,矛盾。)
因此C+D+E+F≦8,但A,B≦5(若否,則回到(a),矛盾。)
因此A+B+C+D+E+F≦18,矛盾。
(2) n=3:
(a) 3combo同色:不失一般性,假設此3combo正是A,則A≧9
且B,C,D,E,F≦2
(若否,不失一般性假設B≧3,可排成:
AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入,因為【引理2】確保A以外的色珠
BBBXXX 為10個以上,目前用了X+B=8,因此至少4combo,矛盾。
AAAXXX
XXXXXX
AAAXXX )
因此B+C+D+E+F≦10,得知A≧20,再由【引理2】知道A=20,
再由【引理3】知道至少4combo,矛盾。
(b) 2同色1異色:不失一般性,假設此2combo正是A,1combo正是B,則A≧6,B≧3
且C,D,E,F≦2
(若否,不失一般性假設C≧3,可排成:
AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入,因為【引理2】確保A以外的色珠
BBBXXX 為10個以上,目前用了X+B+C=8,因此至少4combo,矛盾。
AAAXXX
CCCXXX
XXXXXX )
因此C+D+E+F≦8,但A≦8(若否,則回到(a),矛盾。)
因此得B≧14≧9,回到(a),矛盾。
(c) 3combo異色:不失一般性,假設此3combo正是A,B,C,則A,B,C≧3
且D,E,F≦2
(若否,不失一般性假設D≧3,可排成:AAAXXX
BBBXXX
CCCXXX
DDDXXX
XXXXXX
至少4combo,矛盾。)
因此D+E+F≦6,但A,B,C≦5(若否,則回到(b),矛盾。)
因此A+B+C+D+E+F≦21,矛盾。
┌────┐
│Step II │
└────┘
從以上討論加上【引理3】可知,任一非自消盤面的最高首消combo數最少有4combo,且
確實存在盤面剛好是4combo。接著證明最後一個部分:
剛好4combo的時候 若且為若 珠量分佈為:20個同色珠、10個雜色珠各2個。
(1) <=:即為【引理3】
(2) =>:
(a) 4combo同色:不失一般性,假設此4combo正是A,則A≧12
且B,C,D,E,F≦2
(若否,不失一般性假設B≧3,可排成:
AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入,因為【引理2】確保A以外的色珠
BBBAAA 為10個以上,目前用了X+B=9,因此至少5combo,矛盾。
AAAXXX
XXXXXX
AAAXXX )
因此B+C+D+E+F≦10,得知A≧20,再由【引理2】知道A=20,
但是從B,C,D,E,F≦2其實可得此盤面正是A=20,B=C=D=E=F=2。
(b) 3同色1異色:不失一般性,假設此3combo正是A,1combo正是B,則A≧9,B≧3
且C,D,E,F≦2
(若否,不失一般性假設C≧3,可排成:
AAAXXX 其中X必有非A色珠塞入,因為【引理2】確保A以外的色珠
BBBXXX 為10個以上,目前用了X+B+C=8,因此至少5combo,矛盾。
AAAXXX
CCCXXX
AAAXXX )
因此C+D+E+F≦8,但A≦11(若否,則回到(a),矛盾。)
因此得B≧11≧6,可排成:AAAXXX
BBBAAA
AAAXXX
BBBXXX
XXXXXX
其中X必有非A色珠塞入,因為【引理2】確保A以外的色珠為10個
以上,目前用了X+B=8,因此至少5combo,矛盾。
(c) 2同色2同色:不失一般性,假設此2combo各是A,B,則A,B≧6
且C,D,E,F≦2
(若否,不失一般性假設C≧3,可排成:AAAXXX
BBBCCC
AAAXXX
BBBXXX
XXXXXX
至少5combo,矛盾。)
因此C+D+E+F≦8,但A,B≦8(若否,則回到(b),矛盾。)
因此A+B+C+D+E+F≦24,矛盾。
(d) 2同色2異色:不失一般性,假設此2combo是A,1combo各是B,C,則A≧6,B,C≧3
且D,E,F≦2
(若否,不失一般性假設D≧3,可排成:AAAXXX
BBBDDD
AAAXXX
CCCXXX
XXXXXX
至少5combo,矛盾。)
因此D+E+F≦6,但A≦8(若否,則回到(b),矛盾。)
且B,C≦5(若否,則回到(c),矛盾。)
因此A+B+C+D+E+F≦24,矛盾。
(e) 4combo異色:不失一般性,假設此4combo正是A,B,C,D,則A,B,C,D≧3
且E,F≦2
(若否,不失一般性假設E≧3,可排成:AAAXXX
BBBXXX
CCCXXX
DDDXXX
EEEXXX
至少5combo,矛盾。)
因此E+F≦4,但A,B,C,D≦5(若否,則回到(d),矛盾。)
因此A+B+C+D+E+F≦24,矛盾。
綜合以上討論,只有(a)情況會發生。
┌───┐
│Q.E.D │
└───┘
個人有感:
其實證出這個還蠻開心的,如果你只是看了這個定理的結果或是證明覺得OK,其實應該
沒啥興奮感。我好久前就是遇到想到這個問題,但是不知道從何下手,摸不著頭緒,覺得
從哪邊討論都很累,後來是由於a大問的問題還有磨神那個盤面才有方向。只是中途又
卡在"20個同色珠,其他10雜色珠,同色珠最高切成首消4combo。"這關鍵又灰心了一陣子
試過很多方法都無法討論完善,正想著放棄的時候,讓我想到填回去的方法,整個就出來
了。
雖然寫定理/證明的順序是先引理再定理,但是思考邏輯完全是反過來的,看是需要什麼
樣的條件才去想有沒有這樣的引理。
不過很靠運氣的是...如果沒有a大問的問題還有磨神那個盤面真的就無法了...而且從這
定理會發現,很多矛盾都是導向20,2,2,2,2,2這分佈,而且這分佈又是唯一會導致4combo
這有點奇妙啊!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.231.118.71
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/ToS/M.1426399643.A.48F.html
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?? 懶人包就是第一頁呀 非自消盤面(沒有3連珠)至少都能首消4C
而且會發生4C的只有一種情況,就是珠子分部20,2,2,2,2,2
是不是"非自消盤面"太敖口??
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:17:11
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跪求中文懶人包...
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※ 編輯: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:23:35
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我就是怕只打"盤面",到時候一堆人問全版同色之類的這種...
我已經用"非自消"來表示:非轉屬、非龍刻的這種沒有3連珠的盤面
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※ 編輯: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:24:56
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有無禁珠沒差~前提已經含最多6色珠,只是"非自消"改成白話的不開轉珠/龍刻
好像比較像...
可是我下面有解釋說"不自消"就是盤面上沒有3連珠...
前面一堆不懂的可以提一下哪邊嗎???
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我精華都在第一頁啊QQ
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:30:04
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不是阿 這樣心珠有25顆,一定有3連心
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定義那邊有寫AB是啥米碗糕
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 14:36:32
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還有 64 則推文
還有 20 段內文
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小當家是誰?
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(._.?)
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謝謝你一開始的問題XDDDD
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我都習慣吃米糕
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嗆我中文不好嗆夠了沒 ( ‵□′)───C<─___-)|||
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.118.71), 03/15/2015 20:29:43
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