Re: [討論] 布希內斯克近似 Boussinesq Approximatio

看板TY_Research作者s93015a (水瓶珩)時間9年前 (2014/10/25 13:50)推噓5(5推 0噓 2→)

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原文恕刪 Boussinesq近似是一個準平衡近似。假設大氣有一個不變的靜力平衡態，而我們所關心的是大氣狀態稍微偏離靜力平衡態的變化。Boussinesq近似的目的是在此假設下將大氣變化線性化以求解析解。以下轉自telnet://bbs.as.ntu.edu.tw Allstudy版， ______________________________________________________________________________ [作者] s93015a (水瓶珩) [看板] Allstudy [標題] [共筆] 流體力學筆記微擾分析之靜力平衡 [時間] Sun Feb 16 01:36:05 2014 ─────────────────────────────────────── ∂ρ/∂t=-U‧▽ρ-ρ(▽‧U) ∂U/∂t=-U‧▽U-gk-(▽p)/ρ p^(1/γ)=ρRθpr^(-κ) cpdlnθ/dt=0 以上是慣性座標中無外力、無耗散的大氣原始方程求非線性偏微分方程式的解有兩種方法：數值分析和微擾分析，而後者較簡單，是接著的重點。所謂微擾分析，就是先求平衡態解，再求微微偏離平衡態的解。在數學上，就是將變數對時間在平衡態上展開，再忽略二次以上的項，如此做的好處是將非線性方程式線性化，一定有解析解，壞處則是無法求過度偏離平衡態的解(所謂微微偏離平衡態的定義就是高次項比一次項小至少一個尺度) 先求靜力平衡態，所謂『靜力』即U=0，『平衡』即變數無時變率： gk+(▽p)/ρ=0 在直角坐標上展開： ∂p/∂x=0 ∂p/∂y=0 ρg+∂p/∂z=gp/RT+∂p/∂z=ρg+∂(RTρ)/∂z=0 就大氣而言，壓強和密度主要是高度的函數，而溫度隨高度的變化則較不顯著。讓我們求『靜力平衡所伴隨的壓強函數』，方法是先考慮靜力平衡態壓強p0為高度坐標Z的函數： g/RT+dlnp0/dZ=0 再沿高度坐標Z從地面Z=0(在此使用p0(0)這個邊界條件)積分到實際高度Z=z p0(z)=p0(0)exp(-z/H) 其中尺度高H為RT/g在lnp0坐標上的平均同理，讓我們求『靜力平衡所伴隨的密度函數』，方法是先考慮靜力平衡態密度ρ0為高度坐標Z的函數： g/R+d(Tlnρ0)/dz=0 再沿高度坐標Z從地面Z=0(在此使用ρ0(0)這個邊界條件)積分到實際高度Z=z ρ0(z)=ρ0(0)exp(-z/H') 其中尺度高H'雖在數學上與H完全不同，但實際上非常近似(因為溫度隨高度的變化不顯著) 為何要求靜力平衡態呢？想像重力與壓強梯度力拔河，兩力大部分互相抵消，而我們所關心的是不互相抵銷的部分，故求靜力平衡態以得互相抵銷的部分，不互相抵銷的部分會在下篇說明，這篇會更深入說明靜力平衡態的特徵和意義首先，靜力平衡態最重要的特徵就是分層性：重力非常巨大，壓強梯度力為了與之抗衡，壓強隨高度指數遞減，連帶著密度隨高度指數遞減其次，必須澄清定義靜力平衡態不需要額外的假設！如同定義位溫只不過定義絕熱條件下的溫度而非假設絕熱，定義靜力平衡態也只不過定義靜力平衡下的狀態而非假設靜力平衡不過，靜力平衡態還是有適用條件：∂p/∂z>>∂p/∂x~∂p/∂y，也就是壓強變化的水平空間尺度遠大於垂直空間尺度。換句話說，在系統分層性不顯著的條件下，靜力平衡態就不好用了(只是不好用，不是不成立)。最後，分層性使靜力平衡態變成特別指垂直方向。此後再提到靜力平衡態只保證垂直流速平衡態為零，不保證水平流速平衡態為零 -- ※ 發信站: 卡莎米亞(bbs.as.ntu.edu.tw) ◆ From: 140.112.248.229 ______________________________________________________________________________ [作者] s93015a (水瓶珩) [標題] [時間] Tue Feb 18 20:59:39 2014 ─────────────────────────────────────── 延續上篇所提到的平衡態，建立描述微微偏離平衡態的方程組。首先，把每個變數分解為基本場(平衡態，z的函數)和擾動項(t,x,y,z的函數)： V=V0+V' w=w' ρ=ρ0+ρ' p=p0+p' θ=θ0+θ' 其中V為二維流速向量(V≡ui+vj)，代入原始方程： ∂ρ'/∂t+V0‧▽ρ'+w'(dρ0/dz)+ρ0(▽‧U')+U'‧▽ρ'+ρ'(▽‧U')=0 ∂u'/∂t+V0‧▽u'+w'(du0/dz)+(∂p'/∂x)/ρ0+U'‧▽u'+(∂p'/∂x)ρ'/ρ0^2=0 ∂v'/∂t+V0‧▽v'+w'(dv0/dz)+(∂p'/∂y)/ρ0+U'‧▽v'+(∂p'/∂y)ρ'/ρ0^2=0 ∂w'/∂t+V0‧▽w'+U'‧▽w' +g+(dp0/dz)/ρ0+(∂p'/∂z)/ρ0-(dp0/dz)ρ'/ρ0^2-(dp'/dz)ρ'/ρ0^2=0 p'/γp0=ρ'/ρ0+θ'/θ0 ∂θ'/∂t+V0‧▽θ'+w'(dθ0/dz)+U'‧▽θ'=0 其中1/(ρ0+ρ')經泰勒展開為(1-ρ'/ρ0)/ρ0，狀態方程則先取對數再微分 ______________________________________________________________________________ 接著是微擾分析的精隨。以簡例說明，一長方形長A寬B，隨時間變化，平衡態長A0寬B0， A=A0+A'，B=B0+B'： A0B0 A'B0 A0B' A'B' 若我們所關心的是長方形面積隨時間的變化，藍色是平衡態故不隨時間變化，只要擾動項比平衡態小一個尺度，綠色就比紅色小一個尺度，故綠色忽略不計 ______________________________________________________________________________ 把g+(dp0/dz)/ρ0=0代入上式並消除所有非線性項(綠色)，得線性化的大氣原始方程： ∂ρ'/∂t+V0‧▽ρ'+w'(dρ0/dz)+ρ0(▽‧U')=0 ∂u'/∂t+V0‧▽u'+w'(du0/dz)+(∂p'/∂x)/ρ0=0 ∂v'/∂t+V0‧▽v'+w'(dv0/dz)+(∂p'/∂y)/ρ0=0 ∂w'/∂t+V0‧▽w'+(∂p'/∂z)/ρ0+gρ'/ρ0=0 p'/γp0=ρ'/ρ0+θ'/θ0 ∂θ'/∂t+V0‧▽θ'+w'(dθ0/dz)=0 就尺度分析而言，大項乘以大項得平衡態為零，小項乘以小項太小而忽略不計，大項乘以小項則是主宰時變率項的關鍵，這無比重要！大氣動力學的準地轉近似會用到相同的觀念讓我們回過頭來思考靜力平衡近似的意義：並非沒有垂直加速度，而是重力和壓強梯度力實在太大，使真正反映在垂直加速度的是(∂p'/∂z)/ρ0和gρ'/ρ0這兩個大項乘以小項最後，我們已經越來越接近解析解了！！！ -- ※ 發信站: 卡莎米亞(bbs.as.ntu.edu.tw) ◆ From: 140.112.66.239 ______________________________________________________________________________ 最後，Holton第四版5.1.1的五條Boussinesq方程式，只要進一步假設：考慮科氏力(表示我們所關心的時間尺度不小於地球旋轉的時間尺度)和摩擦力(其實不太懂為什麼這裡考慮摩擦力) 平衡態無垂直風切，du0/dz=dv0/dz=0 密度擾動只和位溫有關！！！(表示我們所關心的時間尺度遠大於聲波時間尺度) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.67.118 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/TY_Research/M.1414216210.A.FC4.html

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lavifoxbat

10/25 13:55, , 1^F

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※ 編輯: s93015a (140.112.67.118), 10/25/2014 13:56:02

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tim0922

10/26 21:11, , 2^F

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airawesu

10/27 08:53, , 3^F