Re: [問題] 動差生成函數與其極限

看板Statistics作者 (　)時間10年前 (2013/08/25 01:22), 編輯推噓0(0推 0噓 5→)
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推
08/11 15:22,
你可以對Mx(t)展開後 就知道一次微分後不會出現這種情形
08/11 15:22
如果Mx(t)在t=0不連續，還能在0這個點做泰勒展開嗎？
→
08/12 16:02,
Mx(t) 在 0 當然也是可微分的, 只是不是帶 t≠0 時的公式.
08/12 16:02
→
08/12 16:02,
但 Mx(t) 若存在於 (-h,h), 則 Mx(t) 是無限階連續可微的,
08/12 16:02
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08/12 16:04,
也就是說 Mx'(0) 除了帶定義式計算以外, 也可以用 Mx'(t),
08/12 16:04
→
08/12 16:04,
t→0 之極限得到.
08/12 16:04
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08/12 16:05,
至於 Taylor's expansion, 那是結果.
08/12 16:05
如果Mx'(t)在(-h,h)連續，那麼lim(t->0)Mx'(t)=Mx'(0)=E(X) (連續代表該點極限值等於函數值) 可是如果在t=0的點沒有值，(也就是Mx'(0)不存在) 那要怎麼證明lim(t->0)Mx'(t)=E(X) ?? 我目前參考書上證明E(X)=Mx'(t)|t=0的過程，再予以修改看看... 積分範圍全都是(-∞,∞) E(X) =∫xf(x)dx ...(1) =lim(t->0)∫xexp(tx)f(x)dx ...(2) =lim(t->0)∫d/dt(exp(tx))f(x)dx =lim(t->0)Mx'(t) 已知lim(t->0)exp(tx)=1， 但能因此宣稱從(1)到(2)的過程是正確的嗎？ 感謝回答！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.255.0.245
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09/02 10:09, , 1F
不可能不存在! 只是不能用 t≠0 時的公式去套.
09/02 10:09, 1F
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09/02 10:11, , 2F
別理那參考書的 "證明"! 正確的證明是在 Lebesgue 積分下考
09/02 10:11, 2F
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09/02 10:12, , 3F
慮的; 即使用黎曼瑕積分, 也需要有 unifom convergence 方面
09/02 10:12, 3F
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09/02 10:13, , 4F
的支持. 再者, 就算忽略 uniform convergence 的條件, E[X]
09/02 10:13, 4F
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09/02 10:14, , 5F
是等於 Mx'(0), 而不是去證明 E[X] = lim_{t→0} Mx'(t).
09/02 10:14, 5F
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文章代碼(AID): #1I6El7ug (Statistics)
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