Re: [問題] 關於均勻分配的變數變換
※ 引述《mantour (朱子)》之銘言：
: ※ 引述《dadayaki (DADA)》之銘言：
: : 若X和Y均服從均勻分配(0，1)
: : X和Y獨立
: : 則X/Y和XY的PDF為何?
Z=X/Y
z<1時
y z
1 --------
| / |
| / |
| / |
|/ |
------- x
1
黃色區域: x/y <= z
z>1時
y
1 --------
| |
| ˊ|1/z
| ˊ |
| ˊ |
-------- x
1
黃色區域: x/y <= z
: 可以先求C.D.F.再微分
: 設Z = X/Y
: 1 y*z
: FZ(z) = P(X/Y <= z) = ∫ ∫ fX(x)fY(y) dx dy
: y=0 x=0
: 其中 fX(x) = 1, if 0<=x <=1
: = 0, otherwise
: fY(y) = 1, if 0<=y <=1
: = 0, otherwise
: 所以要討論
: if z <= 0
: FZ(z) = 0
: if 0< z < 1
: 1 y*z
: FZ(z) = ∫ ∫ 1*1 dx dy
: y=0 x=0
: = 1/2 z
: if z >= 1
: 1 1 1 y*z 1/z y*z
: FZ(z) = ∫ ∫ 1*1 dx dy + ∫ ∫ 1*0 dx dy + ∫ ∫ 1*1 dx dy
: 1/z 0 1/z 1 0 0
: = 1-1/z + 0 + 1/(2z) = 1 - 1/(2z)
: 因此Z的p.d.f為
: fZ(z) = 1/2 , if 0<z<1
: = 1/2(z^2) , if z >= 1
: = 0 , if z <= 0
: 令 W = X*Y
: 1 w/y
: FW(w) = P(X*Y <= w) = ∫ ∫ fX(x)*fY(y) dx dy
: y=0 x=0
: if w <= 0, FW(w) = 0
: w 1 w w/y
: if 0<w<1, FW(w) = ∫ ∫ 1*1 dx dy + ∫ ∫ 1*0 dx dy
: y=0 x=0 y=0 x=1
: 1 w/y
: +∫ ∫ 1*1 dx dy
: y=w x=0
: = w - w ln w
: if w>=1 , FW(w) = 1
: => fW(w) = - ln w = ln (1/w) , if 0 < w < 1
: = 0 , otherwise
: : 若X服從均於分配(-2，1)
: : Y=|X|
: : 則Y之PDF為何?
: 原po可用類似方法練習寫出算式看看
: : 謝謝
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※ 編輯: mantour 來自: 61.57.112.242 (12/12 17:13)
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※ 編輯: mantour 來自: 61.57.112.242 (12/12 17:16)
推
12/14 13:55, , 1F
12/14 13:55, 1F
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