Re: [問題] 請問均勻分配充分統計量的證明
※ 引述《goshfju (家教..乏人問津~"~)》之銘言：
: ※ 引述《truck46 (冰風)》之銘言：
: : X1.....Xn~U(α,β）
: : (α,β）的充分統計量為(X(1),X(n))
: : 證：
: : f(t1,tn)＝n(n-1)(1/β-α)^2(tn-t1/β-α)^n-2 α＜t1≦tn＜β
: : ^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: : 怎麼來的？ 為什麼不是(tn-t1/β-α)^n ？
: 單純就這個分配,畫圖找會比較快
: #1 n-2 #n
: t1 tn
: f(t1) (tn-t1)/(β-α) f(tn)
: tn
: P(t1<X<tn) = ∫ 1/(β-α) dx = (tn-t1)/(β-α)
: t1
: n-2
: f(t1,tn)= n!/(n-2)! * [(tn-t1)/(β-α)] * f(t1) * f(tn)
: n-2 2
: = n(n-1)*[(tn-t1)/(β-α)] *[1/(β-α)] ; α≦t1<tn≦β
: : f(X1.....Xn|t1,tn)獨立於(α,β）
: : 麻煩各位幫幫我吧，謝謝！
: 如果你只是要找到充分統計量,請用分解定理
: n n
: f(x1,...,xn;α,β) = Π f(xi;α,β) = Π 1/(β-α) * I (xi)
: i=1 i=1 (α,β)
: n
: = 1/(β-α) * I (α,β)
: A
: ( t1<...<tn ) => α≦t1 , β≧tn
: α β
: A = { (α,β) | α≦t1 , β≧tn }
: f(x1,...,xn;α,β) = h(x1,...xn)g(α,β;t1,tn)
: n
: where h(x1,...,xn)=1 , g(α,β;t1,tn)= 1/(β-α) *I (α,β)
: A
: ∴By Neyman-Fisher 分解定理 , (X(1),X(n))是(α,β)的一組聯合充分統計量
: 如果你還需要驗證(X(1),X(n))確實是(α,β)的聯合充分統計量
: 請計算P(X1=x1,...,Xn=xn | X(1)=t1, X(n)=tn)
: 如果其與α,β無關,那就OK了
: 系統狂吃字中打到想哭= =這機率我PO在下一篇
P(X1=x1,...,Xn=xn | X(1)=t1, X(n)=tn)
=P(X1=x1,...,Xn=xn,X(1)=t1,X(n)=tn) / P(X(1)=t1,X(n)=tn)
注意分母中的機率在前面就算過了
至於分子當X(1)=t1,X(n)=tn時, I (α,β)就等於1再代入前面的f(x1,...,xn;α,β)
A
P(X1=x1,...,Xn=xn | X(1)=t1, X(n)=tn)
n n-2 2
= [1/(β-α) ] / { n(n-1)*[(tn-t1)/(β-α)] *[1/(β-α)] }
n-2
= 1 / [n(n-1)(tn-t1)] ; if X(1)=t1, X(n)=tn ( =0 ; otherwise)
其與α,β無關
所以( X(1) , X(n) )的確為(α,β)的一組聯合充分統計量
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◆ From: 59.112.83.142
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04/23 02:12, , 1F
04/23 02:12, 1F
※ 編輯: goshfju 來自: 59.112.83.142 (04/23 02:23)
推
04/24 01:29, , 2F
04/24 01:29, 2F
討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 3 之 3 篇)：