[問題] 請教兩常態隨機變數獨立與 Cov 之關係
在 Hogg. 的數理統計書裡 有提到多變量常態獨立若且唯若其共變數為零
但是在做一題交大、清大的研究所考古題時，卻想不到是哪裡出了差錯
題目如下：(90交大統研、93交大管科、94清大統研)
Let X be a normal random variable with mean 0 and variance 1.
Let Z be a random variable such that Z and X are independent with
P({Z=1})=1/2 and P({Z=-1})=1/2. Now define Y=ZX, "Y=X if Z=1" and
"Y=-X if Z=-1".
(a) Are X and Y independent?
(b) Are Z and Y independent?
(c) Show that Y is normal random variable with mean 0 and
variance 1.
(d) Show that Cov(X,Y)=0
問題如下：
(a) M_X,Y(t,s)=E[exp(tX+sY)]=E[exp(tX+sZX)]=E{E[exp(t+sZ)X|Z=z]}
=P({Z=1})*E[exp(t+s)X]+P({Z=-1})*E[exp(t-s)X]
=1/2*{exp[(t+s)^2/2]+exp[(t-s)^2/2]}
又 M_X(t)=M_X,Y(t,0)=exp(t^2/2) M_Y(s)=M_X,Y(0,s)=exp(s^2/2)
因 M_X,Y(t,s)=!M_X(t)*M_Y(s) 所以 X 與 Y 不獨立
(b) 同上一題之做法，可以求得 Z 與 Y 獨立
(c) 由前面小題得知，Y 為一服從 N(0,1) 之隨機變數
(d) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=E(XY)=E[X(ZX)]=E[(X^2)*Z]
問題如下：
(a) M_X,Y(t,s)=E[exp(tX+sY)]=E[exp(tX+sZX)]=E{E[exp(t+sZ)X|Z=z]}
=P({Z=1})*E[exp(t+s)X]+P({Z=-1})*E[exp(t-s)X]
=1/2*{exp[(t+s)^2/2]+exp[(t-s)^2/2]}
又 M_X(t)=M_X,Y(t,0)=exp(t^2/2) M_Y(s)=M_X,Y(0,s)=exp(s^2/2)
因 M_X,Y(t,s)=!M_X(t)*M_Y(s) 所以 X 與 Y 不獨立
(b) 同上一題之做法，可以求得 Z 與 Y 獨立
(c) 由前面小題得知，Y 為一服從 N(0,1) 之隨機變數
(d) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=E(XY)=E[X(ZX)]=E[(X^2)*Z]
=E(X^2)*E(Z)=0
不知道是不是我哪裡寫錯了，不然怎麼會發生 X 與 Y 皆為服從常態之隨機變數
且 Cov(X,Y)=0，但是 X 與 Y 竟然不獨立，麻煩各位前輩幫忙指點一下，謝謝！
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