Re: [問題] 常態(高斯)分布的推導
※ 引述《daa94.bbs@ptt.cc (MyAV敗家前鋒)》之銘言：
> 我已經查過教科書跟GOOGLE大神了
> 都沒找到Gaussain Distributions的公式是怎麼推出來的
> 都是各種題目跟應用
> 請問有誰知到應該怎麼推嗎><
(1) 中央極限定理.
最早是由 binomial(n,1/2) 當 n 很大時, 做標準化
可導出常態分布.
由中央極限定理可得其 ch.f., 然後由反算公式可得
p.d.f.
(2) 令 (E1,E2) 為二維測量誤差. 假設
i) 測量誤差發生之機率強度, 只與 E1^2+E2^2 有關.
又假設此機率強度是平滑的.
ii) 測量誤差發生之機率強度, 與 E1^2+E2^2 之大小
成相反方向. 即: E1^2+E2^2 大則發生可能性小.
iii) 兩方向測量誤差 E1 與 E2 相互獨立, 且同分布.
以符號表示,
考慮 X, Y 雙隨機變數, 其聯合 p.d.f. 為 h(x,y).
iii) 表示 h(x,y) 可寫成 f(x)f(y);
i) 表示 h(x,y) 可寫成 h(x,y)=g(x^2+y^2), 且 g 可微;
ii) 表示 g'(t)<0.
故 f(x)f(y) = g(x^2+y^2), 且 g'(t)<0.
對 x 做微分, 得
f'(x)f(y) = 2x g'(x^2+y^2)
類似, 對 y 微分得
f(x)f'(y) = 2y g'(x^2+y^2)
故
f'(x)f(y)/(2x) = f'(y)f(x)/(2y) for x≠0, y≠0
或即
f'(x)/(2xf(x)) = f'(y)/(2yf(y)) if 分母不為 0.
故, 存在常數 k>0, 使
f'(x)/f(x) = -2kx if x≠0, f(x)≠0.
於是, 得
f(x) = C exp(-kx^2)
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海
推
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