Re: [請益] 數學一題
※ 引述《dkao (dkao)》之銘言：
: 手機發文請見諒！
: 題目：
: http://miupix.cc/pm-H9HWMQ
: 詳解： http://miupix.cc/pm-FN9CWV
: 剛剛翻了課本+參考書都只有看到三角型才要X1/2
: 為啥這裡的四邊型也要X1/2?
: 而且課本裡也沒詳解裡用的公式
: 請高手解釋一下公式來源和為何要X1／2 謝謝！
: P.S. I'm soooooo nervous now!!!!!
這公式還真多人問... 它的推導方式有很多種 以下是使用Green's Theorem的結果
基本上 題目要求的多邊形面積 可以用以下的方式表示:
∬dA
D
D是多邊形所包圍的面積 也是一個bounded region
讓C代表多邊形的邊 則它是一個piecewise-smooth且simple closed的曲線
在此假設它是positively oriented
則根據Green's Theorem:
1
∬dA = --- ʃxdy - ydx
D 2 C
假設我們現在只有兩個點(x_0, y_0)和(x_1, y_1) 則:
ʃxdy - ydx = x_0*y_1 - x_1*y_0 = |x_0 x_1|
K |y_0 y_1|
K是從第一個點連到第二個點的直線
所以當我們把整個C都積過一遍後:
1
∬dA = --- |x_0 x_1 ... x_n x_0|
D 2 |y_0 y_1 ... y_n y_0|
就得到了一開始的公式
加絕對值的原因 是因為C的orientation不一定是positive 也有可能是negative的
這樣代公式算出來的答案就會是負的
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