Re: [問題] 三角函數
※ 引述《skyluck (蔥花)》之銘言：
: sin(pi/7)xsin(2*pi/7)xsin(3*pi/7)=?
: 和差化積
: 兩倍角公式
: 三倍角公式
: 一直算不出來
: 請板上各位大大幫忙了 Orz
令z=cos(2π/7) + isin(2π/7)
在複數平面上
|1-z|^2 = 1 + 1 -2cos(2π/7) -------餘弦定理
= 2 - 2 cos(2π/7)
= 2 - 2 [ 1-2sin^2(π/7)]
= 4 sin^2(π/7)
=> |1-z|=2sin(π/7)
同理可得 |1-z^2|=2sin(2π/7) .....
故 |1-z||1-z^2|…|1-z^6|= 2^6 sin(π/7) sin(2π/7)…sin(6π/7)
= 64 [sin(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7)]^2
∵z為x^7-1=0的根 => (x-z)(x-z^2)…(x-z^6)= 1+ x +x^2+....+x^6
令x=1代入 (1-z)(1-z^2)...(1-z^6) = 7
兩邊取絕對值
|1-z||1-z^2|...|1-z/^6| =7
64 [sin(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7)]^2 =7
sin(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7) = √7/8
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