Re: [問題] n個線性獨立的eigenvectors保證行獨立?
※ 引述《s97610017 (粥有兪)》之銘言：
: If nxn matrix A has n linearly independent eigenvectors,
: then the linear system Ax=b has a least-squares solution
: (R)^-1(Q)^T b
: (A)True (B) False
: 這題是中央資工98年數學考題
: 但是我找到兩種版本解答
: 一直是直接說行獨立
: 不過另一種說n個線性獨立的eigenvectors並不保證有行獨立
: 我實在是不太懂
: 也不知道哪個說法是正確的
: 請問有哪位大大可以幫我解答一下嗎謝謝
總覺得這文比較適合 Math 版...
anyway, 令 M 為 A 的 n 個 eigenvector 作為 column vector 排成的矩陣
則有 AM = MD 其中 D 是對角矩陣 元素為對應之 eigenvalue
若這 n 個 eigenvector 線性獨立 則 M 可逆
但因為 D 可以是不可逆 (這只要有個對角線元素是 0 即可, ie. A 有 eigenvalue 0)
A = MDM^-1 就不一定可逆了 (這等價於 A 無行獨立, 因為 A 是方陣)
(其實 A 有 eigenvalue 0 正表示 A 無行獨立
由於 A 乘上對應的 eigenvector 為零向量
這個 eigenvector 正寫出了一個組合法)
用 Mathematica 湊了一個例子出來:
[1 2 3] [8] [1] [-2]
[0 0 1] eigenvalue/eigenvector 為: 2 → [1], 1 → [0], 0 → [ 1]
[0 0 2] [2] [0] [ 0]
顯然這三個 eigenvector 互相線性獨立 但左邊那矩陣並無行獨立
由 0 的 eigenvector 也知道第一行乘 -2 加第二行乘 1 = 零向量
即第一行乘 2 = 第二行乘 1 這也印證了這矩陣沒有行獨立
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実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」
亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」
実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」
亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」
－－プリンセス・プリンセス 第二話
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◆ From: 122.254.16.60
推
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