Re: [轉錄] 勘根定理與試根問題
※ 引述《tropical72 (藍影)》之銘言：
: 以下問題是轉自 math 版,最近在研究數值分析的問題,
: 希望以程式語言去解決,
: 後來想想轉來這似乎可以得到更多想法,
: 希望各位能不吝指教。
: ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1CyjhZnF ]
: 作者: tropical72 (藍影) 看板: Math
: 標題: [中學] 試根問題與勘根定理
: 時間: Mon Nov 29 06:42:39 2010
: 太久沒碰數學,最近碰一些數值分析的東西,
: 過程中有些想法是關於勘根定理與試根問題
: 還煩請各位協助解惑..
: 假設 f(x) = 20x^5 + ....+ 28 = 0
: f(x) 無法再進行化簡
: (A) 試根問題
: 要用因式分解求根的話,若先進行試根之動作:
: 20 因數：1,2,4, 5,10,20 = Ai, i=1~6
: 28 因數：1,2,4, 7,14,28 = Bj, j=1~6
: Q1 要試根是否要試 (+/-) Ai/Bj 及 (+/-) Bj/Ai (for all i, j) ?
± Bj/Ai 即可
這其實是一次因式判定定理:
若 (px+q)|(a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0) (皆整係數)
則 p|a_n q|a_0
所以才會有求因數試根的方法
: Q2 如果虛根也要求的話,此公式是否可套用?要試的根就變成
: (+/-) Ai/Bj, (+/-) Bj/Ai, (+/-)i*Ai/Bj, (+/-)i*Bj/Ai (for all i, j)
虛根的情形就很複雜了
你這裡其實還跳過了無理根
像 x^2 - 2x - 2 = 0 的根是 1±√3
像 x^2 - 2x + 4 = 0 的根是 1±i√3
這事情會複雜非常多 不是這種試法可以解決的...
: Q3 如果 Q1 為是,試的根全都失敗,代表此方程式 "無實數解" ?
: 如果 Q2 為是,試的根全都失敗(有這可能嗎?),代表 "此方程式無解" ?
Q1 全部失敗的結論是「無有理數解」
Q2...就再說了
: 另在使用時是否有有其需注意之事項?
: (B) 勘根定理
: f(x) 假設承上, 勘根定理在使用時必須先確定 low bound 與 up bound,
: 再判別之間是否有根存在(或可能無根存在)。
: 然而舉 matlab 軟體, 在求非線性方程式之解時, 是否也是先用勘根定理,
: 再去求其值。若是的話, 它該如何確定每次的 low bound 與 up bound??
: ex: 假設一方程式 g(x) 為非多項式之非線性方程式
: 已知有3解: -1000.1, 0.3, 2000.23
: 這樣的話, 我該如何先去判斷 low bound 與 up bound?
: 還是只能類似這麼做： low bound = -MAX, up_bound = -MAX+1,
: 每次都遞增1，直到 low_bound = MAX, up_bound = MAX+1 才能試出所有根所在區間？
: 問題有點多,希望對於任何問題有想法或建議的版友能不吝回覆與指教,
: 感謝各位。
用勘根的話
通常會先確定在哪個範圍之外函數不會有根了
然後在其中再去切看看有沒有根
但勘根定理危險的地方在於如果區間中有偶數個根的話會得不到訊息
不管你切怎樣的區間都一樣
也就是這種勘根法(如果能的話)只能確定其中數個根
不能確定所有根...
如果要求數值解的話確定區間後用牛頓法是個不錯的主意
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