Re: [閒聊] 千禧年七大數學問題－納維斯托克斯

看板Physics作者harry901 (harry901)時間7年前 (2017/06/24 02:53)推噓7(7推 0噓 1→)

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※ 引述《KBmax (James陽)》之銘言： : 最近租片看了《天才的禮物 / Gifted》，整部片數學部分圍繞著納維 - 斯托克斯存在性 : 及光滑性，其實蠻好奇這個問題他的重要性還有發展潛力的(解決以後會對未來學術界的 : 發展影響等)，居然值得砸下這麼大的獎金去懸賞？片中還說對人類未來有非常重大的意 : 義@@ : 維基也只有簡單提到他的解包含紊流，我蠻好奇的是既然都有數值方法可以解決了那為啥 : 這個問題仍舊很重要？ : 然後他這個問題的困難點是在哪呢？ : 不知道版上有沒有神人可以一起來聊聊@@ 確實是蠻重要的讓我們欣賞一下NS eq是什麼牛二應用在流體力學的力學運動方程式是以下 (就是說如果把流體切開為一個質點分析根據第二運動定律會有以下結果) 張量的推導其實可以省略很多版面不過鄉民看不懂我也看不懂所以我們取一個方向來講一下好了 x方向 Du ∂σxx ∂τyz ∂τzx ρ-- = ------- + ------- + -------- + ρgx eq(1) Dt ∂x ∂y ∂z 這個東西怎麼來的如果以牛二來解釋想像一個剛體質點 d F = ---(mv) = m'v + v'm = ma dt 但是對於一個流體質點他就不是剛體他會變形所以要用這個質點受到的各種應力去分析上面那一串很討厭的x方向就是這樣來的第一項ρDu/Dt是加速度慣性力二三四是應力平衡最後一項是物體力 PS 推導過程中會消去yz方向的面積所以才會有eq(1) 反正eq(1)基本概念就是動量守恆或力平衡而已但是呢如果要真的分析流體(連體)的受力並不是只有單純上面的式子最明顯的例子就是如果流體是不均勻的猶如大如海水鹽度小如你今天拉肚子沖馬桶之後的流動如果以單一等向性均質性等等去分析問題可以簡化不少所以這部份又變成如果要考量流體本身的性質呢？單純流體中我們只要注意 du τ = μ -- eq(2) dy →τ du/dy ██ ＝ ◢█◤ → y ------------------ -------------- ↑→x →u(速度方向) eq(2)是基礎流體力學會講的基本概念他的意思是跟你說流體受到的剪應力與黏滯係數與速度梯度成正比大概可以類化為摩擦力f=μN 但兩者其實差異很大這邊的類化只是告訴沒有學過流體力學的鄉民一個概念而已單純流體而言受到的剪應力τ越大因為同物質 μ是一個係數"可能是定數" 所以流體是的速度梯度du/dy越大產生流動越快的性質但是這個假設是在牛頓流體才成立牛頓流體是說eq(2) 非牛頓流體是是說τ =~~ μdu/dy 那些東西有興趣自己查詢再者就算是牛頓流 μ這個東西可就好玩了他不一定是常數他可能隨著溫度而改變亦可能隨著分子之間的運動而改變 (比方說我往y方向跑結果z方向受到μ的影響不是固定）各種變因造成μ不會是那麼穩定所以定義了λ 動黏滯係數這東西在人類與地球的生活條件中是相對穩定的所以如果取一塊流體的x方向正應力分析會有在x方向正向應力的應力平衡 ∂u → σxx = -P + 2μ---- + λ(▽．V ) .... eq(3) ∂x 這種其怪的東西 ▽．V是因為 x方向不一定是均質等向什麼挖溝的造成yz也會影響所以無法寫得很精簡當然如果只考慮xz方向的應力平衡 ∂v ∂w τzy = μ(---- + -----) ....eq(4) ∂z ∂y 這種東西當然還有yy, yz, xy,... 這些應力與剪應力光是一個x方向就搞死人了如果要把這些東西丟進去最基本的eq(1) 就是牛二力平衡概念(動量守恆) 愛因斯坦來看也會吐血這時候Stoke誰想了一個合理的假設 2 λ + ---μ ＝ 0 (stoke hyp.) 3 因為流體的等向性質以及絕大部份氣體而言有上面的假設這部份是微觀巨觀已經證實ok的所以鄉民不用猜測了統統丟進去eq(1) 又因為流體為液體不可壓縮經過好多次翻雲覆雨可以得到非常漂亮的向量表示式 DV 2 ρ--- = -▽P + ρg + μ▽ V ----eq(5) Dt eq(5) 就是著名的Navier-Stoke eq. 這個東西是在說什麼？我們一個一個來解釋鄉民就比較能瞭解意義 ρDV/Dt 是流體的慣性力 ρ是密度在流體力學裡面有嚴格的定義 △m 來自於微積分的極限定理 ρ = lim ----- where △V→ε △V→0 △V 當ε是分子尺度時候上面都不試用當ε接於實生活尺度則是用當ε"接近" 或介於上述二者則屬於介觀力學範疇這邊不討論有興趣google 慣性力我想大家都知道想成F=ma的ma就是了第二個是連體裡面本身的壓力性質 -▽P 為什麼會有負號單純是定義而已如果是單純分子間因為沒有面積所以沒有這個問題連體因為有面積與吸引交互作用力所以會有這項可以想像現實生活中大氣有壓力而海裡面也有壓力無所不在連結這部份的力學也是介觀力學的問題不過這部份很直接的可以看出第三項ρg 物體力這項的意義是說在慣性座標底下物體本身受到的慣性力因為分析的範圍大多在地球內所以g為重力的影響就放在這邊但是如果是在非慣性座標底下的流體這邊就會變反正不會有人問你我在快速選轉的木馬上的一杯水上面的受力怎樣怎樣大概懂就好第四項 μ▽^2 V 黏滯力這個最重要他說明了流體本身黏滯性質對其他力的影響有多大每一腫流體本身的黏滯係數不一樣好比同一個容器液體水與漿糊輕輕在水表面滑一下跟一樣的力道在漿糊表面滑一下後果大家可想而知越黏的物體越不容意被煽動就好像狡猾的曹琴默甄嬛怎麼努力她還是不會卸下心防說到這邊那麼 NS eq為什麼那麼重要？ DV 2 ρ--- = -▽P + ρg + μ▽ V 這麼漂亮的NS 我們來多看一下嘛 Dt 如果要我懶人包他就是F=ma 這種東西所以重要嗎? 當然～當然F=ma是以固體或剛體的視角去分析問題的比如瘸子小明又出來了他今天以500N的力推了1000kg的胖妹試問胖妹產生的加速度為多少？但是對於液體小明質量50kg今天跌倒了不幸的是他滑倒在水中試問他是否會溺死？上面兩個問題的難易度天差地別分析問題的精準度就在於固體液體的複雜了更直觀的說 NS eq 就是流體力學裡面的牛頓定律因為液體的性質造成分析液體需要的工具不能以單純牛頓力學來解決他必須考量液體本身的組成以及變形等等問題建構力學平衡才能解決而NS提供了建構基礎流體的力學平衡只是這個力學平衡是非常高度複雜但合理的方程式而且還是針對等向性質牛頓流體(還好現今世界的流體都是這種流體居多) 以上可知人類對於流體的研究還卡住呢！？(神：笑你) (鄉民：最好是隨便丟進去NS裡面不就好了數學家:幹你來解) 有修過工程數學或高等數學大概會知道為什麼eq(5)那麼重要以及困難了解決了他等於掌握了流體的牛頓運動定律 ※ 編輯: harry901 (220.137.161.8), 06/24/2017 03:01:17

推

Bernoulli

06/24 23:16, , 1^F

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jameskey

06/24 23:40, , 2^F

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mystage

06/25 09:42, , 3^F

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