Re: [問題] 小弟觀念錯誤 麻煩糾正
刪光光。
一般在處理「一顆 1kg 石頭在地球表面掉落」這種題目的時候，因為地球的
質量跟石頭差太多，所以我們都會乾脆假設地球的運動狀態不受影響。如果地球原
來不動，後來也不會動；如果地球原來的速度是 2 m/s，後來的速度還是 2 m/s。
當然這個假設本身差不多是對的，但是這麼做的代價高中課本不會明白教你：
你會讓全部的守恆定律壞光光。
怎麼說？
先來看最明顯的動量守恆。石頭往下掉，所以動量改變了；地球一直都不動，
所以動量一直都是零沒有變。（石頭＋地球）的系統不受外力，總動量卻改變了！
這是什麼巫術？
其實也沒有什麼巫術。照牛頓第三定律，地球拉石頭的同時，石頭也在拉地
球。所以地球還是會受到很小很小的一點加速度。可是你現在說：「不管，我就
是要把地球釘在同一個地方計算比較方便，反正地球實際上也沒怎麼動嘛。」可
以啊，可是這麼一釘下去，等於施加了本來不該在那裡的外力，動量守恆就壞了。
同一個道理，假如地球本來應該拿到一點動能，但是你硬要讓它只能等速度
運動，那能量守恆也應該要壞掉。實際上你也看到，它真的壞了。
那為什麼我們可以假設地球不會動，然後用能量守恆來解這個題目，還拿到
正確答案？這其實是個美麗的意外。
因為我打字煩了，欲知後事如何，請待下回分解……
--
如果有人要幫我補完下集，那是更好不過。以下提示。
令地球質量 M，石頭質量 m， m/M << 1。
不管是哪個座標系，地球速度的改變量 Δu 都是 O(m/M)。
地球本來靜止：
最後的動能是 1/2 M (Δu)^2 ，還是 O(m/M)，所以可以安全丟掉。
如果地球初速 u != 0：
最後的動能變成 1/2 M (u + Δu)^2。多出來的一階項是 O(1)，丟掉就
真的把能量守恆弄壞了。
--
你喜歡下列哪一個巫女？
1. 老是被分到不同的班級，只好每天中午千里尋妻
2. 對新年參拜的人說求神保佑是沒意義的
3. 不只是半獸人，還會吐火
4. 不承認自己宅，卻知道DQ5一定要娶碧安卡
5. 明明體重不受控制，Pocky還是吃不停
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.172.25
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1396210376.A.C0E.html
→
04/02 20:27, , 1F
04/02 20:27, 1F
→
04/02 22:47, , 2F
04/02 22:47, 2F
→
04/04 22:22, , 3F
04/04 22:22, 3F
只是國中生...我本來下篇已經難產，現在更不知道怎麼跟你解釋守恆定律這些東西了 orz
不過只解釋這個例子的話，我還是可以試試看...
推
04/05 00:31, , 4F
04/05 00:31, 4F
→
04/05 00:31, , 5F
04/05 00:31, 5F
→
04/05 00:33, , 6F
04/05 00:33, 6F
→
04/05 00:33, , 7F
04/05 00:33, 7F
→
04/05 00:33, , 8F
04/05 00:33, 8F
設石頭的速度改變量為 v，地球的速度改變量為 u
動量守恆： m v + M u = 0 ==> u = - (m/M) v
假如 v 是「普通大小」的話，因為 (m/M) 很小，所以 u 也很小，小到感覺不出來。
所以你就把它丟掉了。
可是如果你看動量改變的話，假如石頭的 mv 是「普通大小」，那地球的
M u = - m v
一樣是「普通大小」。
所以，以動量而言，你丟掉的不是「大約等於零」的東西。於是動量守恆就被玩壞了。
「地球的運動狀態可以忽略」是建立在「什麼東西除以M都會變很小」的條件上。
所以你要是看到哪裡又把 M 乘回去，你就要小心了。
※ 編輯: wohtp (123.110.172.25), 04/05/2014 18:00:39
→
04/06 23:02, , 9F
04/06 23:02, 9F
→
04/06 23:02, , 10F
04/06 23:02, 10F
→
04/06 23:03, , 11F
04/06 23:03, 11F
u很小沒錯，所以光是說「地球的速度大概沒什麼變」本身沒有問題。
問題出在你要是跟著假設 u = 0， v != 0 ，然後看動量守恆：
Mu + mv = M * 0 + mv = mv != 0
1. 「地球等速移動」這個假設就是強制 u = 0。
2. u 大約等於零是因為你除了 M
3. 你把 u 強制設成零以後，再把 M 乘回去，一點都不小的 Mu 就被誤殺了
動能出的問題同理。
如果你讓地球的速度自由改變，那力學能不管在哪個座標系都守恆。
如果你限制地球只能等速度運動，那力學能通常就不守恆。
事實上，你要是多算幾個不同的座標系，就可以發現，地球速度越慢，
「消失的動能」就越少。要是地球不動，力學能又（好像）守恆了。
u = 0 這個假設當然是低估了 u，但同時也會稍微高估 v。
這裡我們看到的就是兩個誤差在唯一一個特殊的座標系剛好互相抵銷。
→
04/06 23:05, , 12F
04/06 23:05, 12F
是守恆定律這東西深奧得很無謂，老實說我自己也還有很多沒學到的。
力學能在地球靜止的座標系會剛剛好又守恆回來，其實不全然是巧合。
但這就是我沒辦法簡單解釋的東西了。
※ 編輯: wohtp (123.110.172.25), 04/07/2014 00:27:40
→
04/11 22:58, , 13F
04/11 22:58, 13F
→
04/11 22:58, , 14F
04/11 22:58, 14F
→
04/11 22:59, , 15F
04/11 22:59, 15F
→
04/11 22:59, , 16F
04/11 22:59, 16F
→
04/11 22:59, , 17F
04/11 22:59, 17F
→
04/13 09:12, , 18F
04/13 09:12, 18F
討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 2 之 4 篇)：
問題
2
21