Re: [問題] 量力算符上的一個小問題
※ 引述《asdf2004 (尊爵 榮耀 不凡)》之銘言：
: ~
: A|a'> = a'|a'>
: 上面是一個常被使用的性質
: 但其實我不太了解它的涵義
: 是來自物理上的觀念來是數學上的運算呢??
: 我知道分別是
: operator | eigenket > = egenvalue | eigenket >
: 但其意義究竟為何還有請大神指點
: 謝謝
(如果想看精簡版本請跳到最後)
在物理上，一個observable，會有一個相對應的opertator
譬如說，動量，能量，位置等等
(然後這種對應於某observable的operator是hermitian operator)
某一ket|u>，如果是另一ket乘上一constant，也就是|u>=c|u'>
那我們會將這兩個狀態視作相同的
當我們對一個系統用某operator作用上去時
一般而言，會對系統造成改變，也就是A|ψ>≠c|φ>
(請注意我前一段說的話)
但對某一些特定的狀態，當被某operator作用上去時，卻不會改變其狀態
也就是A|a'>=a'|a'>，這樣的狀態我們就稱它是operator A的eigenstate(eigenket)
前面得到的特定數字a'，被我們稱作eigenvalue
接下來，不同的eigenket會orthonormal，然後他們可以組成complete set這些的
請自己看書，原PO應該有書可以看
(至於compleness是假設或是可用數學證明，我目前不是很確定)
而藉由completness，我們可以將任意狀態，用某hermitain operator其eigenkets表達
也就是|φ>=Σ|a'><a'|φ>
接下來，我們需要知道所謂的"collapse"
也就是，當我們對一個系統進行某測量時，會使系統狀態變為這個operator的eigenket
(值得說的是，有些人不滿意這種說法，中間包含了什麼機制，是很值得研究的)
寫出來，就是|ψ> → 某一個|a'>
然後，我們測量到的值，就是對應於這個eigenket的eigenvalue
我們也假設會測量到某一個eigenstate的機率，是|<a'|φ>|^2
如果我們對一個eigenstate進行測量，並不會改變它，可以得到相同的結果
在量子力學中，經常強調normalization，就是為了保證進行某一測量時
得到各個結果的機率總和為1
另外，這個機率，要從一pure ensemble去看才可以確定
而我們在算expectation value，會用<φ|A|φ>這樣子去算
原因是expectation value=機率X可能的值
也就是Σa'|<a'|φ>|^2=Σa'<φ|a'><a'|φ>
=<φ|A(Σ|a'><a'|φ>)
=<φ|A|φ>
回到原問題，基本上我個人是認為其物理意涵比數學更重
可以發現我裡面寫了很多次"假設"，不過，整體關係邏輯是很嚴謹的
當然，還是有數學的XD
簡單來說:
(1)hermitian operator的eigenket間orthonormal
(2)一個observable會對應到某hermitian operator
(3)配合orthonormal，並假設一hermitian operator之eigenket是complete，我們可以
將任何狀態表示為某hermitian operator之eigenket之和，也就是|φ>=Σ|a'><a'|φ>
(4)"假設"進行測量時，系統狀態會變為某一eigenket，而測量到的數值是對應的
eigenvalue。這就是一般所謂的collapse
(5)並假設會掉到某一eigenket的機率是|<a'|φ>|^2。這樣子確保了再進行測量會得到
相同的結果。(有人稱作repeatability)
(6)為了要讓得到各結果的機率總合為1，我們會要求某一個state ket和base ket必須
normalized
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如果有什麼地方不完整或有錯，希望可以幫忙提醒，補充XD
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◆ From: 140.116.138.218
※ 編輯: GroundWalker 來自: 140.116.138.218 (03/21 09:15)
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首先，"observable會對應於一個operator"，這樣子到底算是假設還是實際上就是這樣
我想永遠不會有人知道XD
我想，事實上是，我們這樣子做，然後他可以運作得很好，所以我們就這樣子做
那我有看了書，有書是把當作axiom，我想這是很合理的做法
當然，說是假設也是沒問題的
而要求是self-adjoint，目的是讓eigenvalue，也可以說觀測到的量，是實數
而self-adjoint operator的eigenket究竟其completness是假設還是數學上能證明
這我稍微看了一下書還是不太確定
如果是用wave mechanics的角度去切入，那可以用Sturm-Liouville theorem去證明
那用這種方法，能不能用數學證明我就不知道了...
不過，我想可以用比較物理的角度去看:
假設，某一個對應於observable的operator A，其eigenket incomplete
那麼，一個state ket，我們可以拆成兩個部分:
|φ>=|β>+Σc|a'>，|β>是無法用其eigenket表達的部分
也就是，如果我們對|β>進行測量，無法得到任何關於A的資訊
如果A是位置，那我們不能知道它的位置，如果是動量，那我們不能知道他的動量
甚至可以說，系統沒有這個物理量存在
下一步，則是確定|β>有沒有包含任何有用的資訊
也就是，|β>其中一部分，能不能用某個operator B的eigenket來表示
於是，我們對B進行測量
假如|β>其中一部分，能用某個operator B的eigenket來表示
而且我們剛好測量到這個結果，那系統就會collapse到那個狀態
如果我們對這個狀態去測量A，那我們卻會發現系統沒有這物理量!
顯然的，這是不合理的，所以我們可以推定:
一個對應於observable的operator，其eigenket必須complete
因為這並不是十分嚴謹，所以應該不能算是證明XD
如果有人對這方面比較清楚，希望可以幫忙回答XD 也謝謝你讓我注意這問題
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※ 編輯: GroundWalker 來自: 140.116.138.218 (03/21 20:17)
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