Re: [問題] 外積在向量空間是否有被定義?
※ 引述《WINDHEAD (Grothendieck吹頭)》之銘言：
: ※ 引述《mgtsai ()》之銘言：
: : 一般而言，外積值是二階(外)張量
: : 不過在三維向量空間中，二階外張量的維度剛好也是三維
: : 所以在三維向量空間，外積值剛好可以使用向量代表
: : 不過在其它維度就無法這樣做
: : 在其它的維度如下
: : 二維空間中兩向量的外積：一維
: : 三維空間中兩向量的外積：三維
: : 四維空間中兩向量的外積：六維
: : 五維空間中兩向量的外積：十維
: : .....
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◆ From: 60.250.129.52
推 herstein:cross product根wedge product不太一樣 10/07 12:40
: 雖然外積的性質跟二階外張量很像，
: 但外積的實際維數可能比二階外張量還少
: 比方說在七維空間中 e_1^e_2 跟 e_4^e_7 跟 e_6^e_5 可以同時設成 e_3
: 如此一來將大大減少外積的維數
: 你的 dimension counting 必須將這件事考慮進去唷
: (呃...好像跟物理不太有關係)
: --
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: ◆ From: 24.12.185.108
: 推 xgcj:推 大大可以將這些結構說清楚一些嗎? 10/07 14:19
: → WINDHEAD:七維的原則是 e_i^e_(i+1)=e^(i+3) 然後這三個傢伙自己 10/07 14:41
: → WINDHEAD:形成一組 R^3 的外積 10/07 14:41
: → WINDHEAD:其實如果你很會猜的話,或許可以猜 2^n-1 維才能定義外積 10/07 14:50
: → WINDHEAD:利用實射影空間的上同調群(over Z_2)很容易證明這件事, 10/07 14:52
: → WINDHEAD:但實際上情況更嚴峻, 只當 n=1,2,3 的時候才存在外積 10/07 14:54
: → WINDHEAD:這個跟Bott periodicity有關,但我不知道怎麼在這裡解釋 10/07 14:54
: → WINDHEAD:姑且當做茶餘飯後的閒聊好了XD 10/07 14:55
WINDHEAD 兄所提到的是數學上對外積的正統定義
是尋找一個 R7 x R7 -> R7 封閉的代數結構
但在物理上，一般大家所慣用的 "外積"
性質比較像是 herstein 兄所提到的 wedge product
在物理上，與外積類似的應用場合
大致上是剛體旋轉，旋度計算，磁場這類的問題
就以計算(軌道)角動量為開頭
L = m r x v
上式是物理中一個很典型的 "外積" 運算
m 為物體的質量
r 為物體對參考點的相對位置
v 為物體的速度
而整個剛體的總角動量，就則上述式子對剛體內所有質點積分即可
放到多維空間 (非三維)，角動量值就不是向量，而是二階外張量
就以 WINDHEAD 兄所提到的七維空間
角動量於 e1^e2，e4^e7，e6^e5 的分量，是三個完全不同的值
這一點，由 SO(7) (七維剛體旋轉群) 的李代數裡頭觀察，可以看得更加清楚
當然，以嚴謹的數學定義中，物理中的 "外積"，要說成 wedge product 才對
但長久的時間下來，習慣上大家都叫做 "外積"
符號上也是以 x 作為 "外積" 的符號
(比如旋度：▽x: 向量場映射至二階外張量場的運算)
這一點就附帶說明一下囉
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不過說真的，我自己倒還沒看過除了三維空間之外
數學上正統的外積運算在物理上的應用
也許是我比較寡聞，看得還不夠多吧
如果其它人知道的話，不吝講出來讓大家知道囉
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◆ From: 60.250.129.52
※ 編輯: mgtsai 來自: 60.250.129.52 (10/07 16:46)
推
10/07 17:03, , 1F
10/07 17:03, 1F
→
10/07 22:50, , 2F
10/07 22:50, 2F
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