Re: [問題] 電磁學
※ 引述《h888512 (理論型嘴砲)》之銘言：
: 討論到具有某一特定電荷分布之系統的能量時
: 在Griffiths第95頁有討論
: 為何2.42和2.45算出來一個可能有負值,一個則恆為正值
: 2.42是W=1/2 Σq_i V(r_i)
: 2
: 2.45是連續電荷情形且利用電場表示,W=ε/2 ∫E dτ
: 他說因為2.42沒有把"make the point charges in the first place"考慮進去
: 這句話的意思是??
: 但是2.45明明就是從2.42推導過來的阿,怎麼會有這種差異??
: 請大家指教 謝謝!!
Griffiths 在書本中有特別指出
式子2.42(點電荷)與2.45(帶電連續體)本質上不一樣
從一個簡單的例子 就可以得知了:
想像現在要把一個自由電荷擺在free space中，需要作多少功?
從式子2.42來看，答案是"0"，因為V=0 (此處的電位貢獻來源為"其它"周遭電荷!)
但從式子2.45來看，答案是"無限大"!
為什麼會得到不一樣的答案呢?
因為式子2.42並沒有考慮"Self-energy"，也就是組成電荷本身所需要的能量!
式子2.42僅考慮"電荷與電荷"間互相交互作用下的"interaction energy"
(所以能量可正也可負)
但是式子2.45除了考慮交互作用的能量外，組成電荷本身所需的能量也考慮進去了!
(所以能量一定是正的!)
那為什麼表面上看起來是從式子2.42推得的式子2.45
兩個式子會不一樣呢?
原因出在電荷本身所處的那一點電場無限大 (E ~ r^{-2}, E -> infinity when r -> 0)
這個奇異點(singular point)造成兩者在積分上會得到不同的答案
在式子2.42的時候，因為考慮的是電荷間交互作用的能量
只要電荷與電荷在空間中不重疊 就不會有奇異點的問題
但式子2.45在求能量時，積分的範圍是全部的空間
所以連帶電連續體"內部"的電場所儲存的能量也一起算進去
此時singular point所造成的電場貢獻也一並算進去!
這就是為什麼式子2.42與式子2.45 本質上不太一樣的主要原因!
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