Re: [題目] 流體力學
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言：
: 這一題上次有人問過，但好像最後沒有結果。
: 如右圖，半徑R的正1/4球體容器內恰裝滿密度ρ 的液體，使其兩平面各自在水平及鉛
: 直面上，容器厚度可忽略，重力加速度g，問容器的內側球面所受液體壓力的總力量值？
: http://www.wretch.cc/album/show.php?i=beachboy417&b=14&f=1137989702&p=90
: Ans:ρgR^3[√(4π^2+9)]/6
: 比較一般的做法應該是：
: 求出液體給容器向下的總力 F1 = π/3 ‧ρgR^3 這個力應該比較沒問題
: 第二就是求出左側面所受到的總力 F2，答案就是 √(F1^2+F2^2)
: 如果由答案去反推，F2應該等於 1/2‧ρgR^3。
: 但我用積分，算不出這個結果。
: 我把整個半圓形，切成水平dA。
: dA = 2R^2cos^2θ dθ (θ為半徑和水平夾角，範圍0~π/2)
: P = ρgy = ρgRsinθ (y是深度)
: F = ∫PdA = 過程略 = 2/3 ‧ρgR^3
: 和 1/2‧ρgR^3的確不一樣。
: 有沒有人用積分可以算得出來？ 解救我一下XDD
來算算這個曲面上受的力
P=-ρgRcosθ
dA=RdθRsinθdψ(sinθcosψ,sinθsinψ,cosθ)
=(R^2)sinθdθdψ(sinθcosψ,sinθsinψ,cosθ)
F=∫PdA=∫ρgR(-cosθ)(R^2)sinθdθdψ(sinθcosψ,sinθsinψ,cosθ)
Ω Ω
=-∫ρg(R^3)cosθsinθdθdψ(sinθcosψ,sinθsinψ,cosθ)
Ω
π π
=∫dθ ∫dψρg(R^3)(-cosθ)sinθ(sinθcosψ,sinθsinψ,cosθ)
π/2 0
π
=∫dθρg(R^3)(0,2(-cosθ)(sinθ)^2,πsinθ(cosθ)(-cosθ))
π/2
π π
=ρg(R^3)(0,2∫dθ(-cosθ)(sinθ)^2,π∫dθsinθ(cosθ)(-cosθ))
π/2 π/2
=ρg(R^3)(0,2/3,-π/3)
而水平面上壓力為0~所以水平面上力為0
垂直面上力+水平面上力+曲面上力
=ρg(R^3)(0,-2/3,0)+ρg(R^3)(0,2/3,-π/3)+(0,0,0)=ρg(R^3)(0,0,-π/3)=
=(0,0,-(π/3)ρg(R^3))
而我們知道總重量=1/4*4/3*ρg(R^3)π=(π/3)ρg(R^3)
這剛好也驗證了壓力對面積做面積分=重量的說法
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