Re: [請益] 不知道是數學還是物理問題了 = =

看板Physics作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)時間14年前 (2010/04/27 02:44)推噓23(23推 0噓 13→)

留言36則, 29人參與討論串3/3 (看更多)

推

chungweitw

04/26 07:25,

04/26 07:25

→

chungweitw

04/26 07:26,

04/26 07:26

→

Frobenius

04/26 07:56,

04/26 07:56

上一篇本來是想用最嚴謹的數學來推導，就是將1/r12用球座標展開利用下列網址的式(3) http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonicAdditionTheorem.html 可推出球座標的展開式http://tinyurl.com/26vpqoe 徑向積分部分就是Slater積分(就是主要計算的部分)，角度積分部分就是Gaunt 積分，可從下列網址的式(13) http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html 可再簡化成http://tinyurl.com/23lmvf2 最嚴謹的計算過程(簡化後)，請看http://tinyurl.com/268tr7h 甚至還用到Clebsch-Gordan係數，沒學過量力的這部分就不會做了上述方法用BBS打出來覺得很可怕，幸好計算 s 軌域是特例，可以不用上述方法計算否則牽涉到其他軌域的計算，只能用球座標展開再去積分才能得出結果所以上一篇後來覺得用物理意義去解釋會較有趣^^

→

h888512

04/26 12:22,

04/26 12:22

推

h888512

04/26 12:34,

04/26 12:34

現在我就用跟角度有關的一般計算方法，不加入任何物理意義來計算之 Let ρ1 = (2Z/a) r1 , ρ2 = (2Z/a) r2 , dρ1 = (2Z/a) dr1 , ρ2 = (2Z/a) dr2 r1 = (a/2Z) ρ1 , r2 = (a/2Z) ρ2 ________________________ _____________________________ |r1 - r2| = √r1^2 + r2^2 - 2r1r2cosθ = (a/2Z)√ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ 2 3 2 dτ = r1 sinθ1 dr1 dθ1 dφ1 = (a/2Z) ρ1 sinθ1 dρ1 dθ1 dφ1 2 3 2 dτ'= r2 sinθ2 dr2 dθ2 dφ2 = (a/2Z) ρ2 sinθ2 dρ2 dθ2 dφ2 (0) 1 Z 3/2 -(Z/a)r1 1 Z 3/2 -(Z/a)r2 Ψ1s^2 (r1,r2) = ---- ( - ) e ---- ( - ) e √π a √π a 1 Z 3/2 -ρ1 /2 1 Z 3/2 -ρ2 /2 = ---- ( - ) e ---- ( - ) e √π a √π a (1) (0)* ^ (0) E = ∫∫dτdτ' Ψ (r1,r2) H' Ψ (r1,r2) 2 (1) (0) e' (0) E = ∫∫dτdτ' Ψ1s^2 (r1,r2) ---- Ψ1s^2 (r1,r2) r12 2 3 2 Z^6 e' -ρ2 2ππ∞ -ρ1 (a/2Z) ρ1 sinθ1 dρ1 dθ1 dφ1 = -------- ∫e dτ' ∫∫∫ e ------------------------------------- π^2 a^6 0 0 0 (a/2Z)√ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ 將 r2 固定在 z 軸上，此時 r1 與 r2 的夾角 θ 與 θ1 相同 2 2 Z^3 e' 1 -ρ2 2ππ∞ -ρ1 (2Z/a) ρ1 sinθ1 dρ1 dθ1 dφ1 = -------- -∫e dτ' ∫∫∫ e ---------------------------------- π^2 a^3 8 0 0 0 √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1 2 2 Z^3 e' 1 Z -ρ2 ∞π -ρ1 d (- cosθ1) ρ1 dρ1 = -------- - -∫e dτ' 2π∫∫ e --------------------------------- π^2 a^3 4 a 0 0 √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1 2 2 Z^3 e' 1 Z -ρ2 ∞π -ρ1 d (ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1) ρ1 dρ1 = -------- - -∫e dτ'∫∫ e ----------------------------------- -------- π a^3 2 a 0 0 2 √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1 ρ1ρ2 2 _______________________________ Z^3 e' 1 Z -ρ2 ∞ -ρ1 √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1 π 2 = -------- - -∫e dτ'∫ e [ ---------------------------------] ρ1 dρ1 π a^3 2 a 0 ρ1ρ2 0 _____________________________ _______________________ √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosπ = √ρ1^2 + ρ2^2 + 2ρ1ρ2 = ρ1 + ρ2 _____________________________ _______________________ √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cos 0 = √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 = |ρ1 - ρ2| ρ1 = 0 ~ ρ2 => |ρ1 - ρ2| = ρ2 - ρ1 ρ1 = ρ2 ~ ∞ => |ρ1 - ρ2| = ρ1 - ρ2 2 Z^3 e' 1 Z -ρ2 ρ2 -ρ1 (ρ1 + ρ2) - (ρ2 - ρ1) 2 = -------- - -∫e dτ' { ∫ e [ ------------------------- ] ρ1 dρ1 π a^3 2 a 0 ρ1ρ2 ∞ -ρ1 (ρ1 + ρ2) - (ρ1 - ρ2) 2 + ∫ e [ ------------------------- ] ρ1 dρ1 } ρ2 ρ1ρ2 2 Z^3 e' 1 Z 2ππ∞ -ρ2 3 2 = -------- - - ∫∫∫ e (a/2Z) ρ2 sinθ2 dρ2 dθ2 dφ2 π a^3 2 a 0 0 0 ρ2 -ρ1 2 ρ1 2 ∞ -ρ1 2 ρ2 2 { ∫ e [ ------- ] ρ1 dρ1 + ∫ e [ ------- ] ρ1 dρ1 } 0 ρ1ρ2 ρ2 ρ1ρ2 2 Z^3 e' Z ∞ -ρ2 3 2 = -------- - 4π∫ e (a/2Z) ρ2 π a^3 a 0 ρ2 -ρ1 1 2 ∞ -ρ1 1 2 [ ∫ e --- ρ1 dρ1 + ∫ e --- ρ1 dρ1 ] dρ2 0 ρ2 ρ2 ρ1 2 e' Z ∞ -ρ2 2 ρ2 -ρ1 1 2 ∞ -ρ1 1 2 = ---- - ∫ e ρ2 [ ∫ e --- ρ1 dρ1 + ∫ e --- ρ1 dρ1 ] dρ2 2 a 0 0 ρ2 ρ2 ρ1 2 e' Z ∞ -ρ2 2 1 ρ2 -ρ1 2 ∞ -ρ1 = ---- - ∫ e ρ2 [ --- ∫ e ρ1 dρ1 + ∫ e ρ1 dρ1 ] dρ2 2 a 0 ρ2 0 ρ2 2 e' Z ∞ -ρ2 2 1 ρ2 -ρ1 2 ∞ -ρ1 = ---- - ∫ e ρ2 --- [ ∫ e ρ1 dρ1 + ρ2 ∫ e ρ1 dρ1 ] dρ2 2 a 0 ρ2 0 ρ2 ----------------------------------------------------------------------------- http://mathworld.wolfram.com/IncompleteGammaFunction.html (1)(2)(3)(5)(8)(9) k ρ2 -ρ1 2 -ρ2 2 ρ2 ∫ e ρ1 dρ1 = γ(3,ρ2) = 2! ( 1 - e Σ --- ) 0 k=0 k! -ρ2 2 -ρ2 2 = 2 [ 1 - e ( 1 + ρ2 + ρ2 /2 ) ] = 2 - e ( 2 + 2 ρ2 + ρ2 ) k ∞ -ρ1 -ρ2 1 ρ2 -ρ2 ∫ e ρ1 dρ1 = Γ(2,ρ2) = 1! e Σ --- = e ( 1 + ρ2 ) ρ2 k=0 k! ρ2 -ρ1 2 ∞ -ρ1 ∫ e ρ1 dρ1 + ρ2 ∫ e ρ1 dρ1 0 ρ2 -ρ2 2 -ρ2 = 2 - e ( 2 + 2 ρ2 + ρ2 ) + ρ2 e ( 1 + ρ2 ) -ρ2 2 -ρ2 2 = 2 - e ( 2 + 2 ρ2 + ρ2 ) + e ( ρ2 + ρ2 ) -ρ2 = 2 - e ( 2 + ρ2 ) ----------------------------------------------------------------------------- 2 e' Z ∞ -ρ2 2 1 -ρ2 = ---- - ∫ e ρ2 --- [ 2 - e ( 2 + ρ2 ) ] dρ2 2 a 0 ρ2 2 e' Z ∞ -ρ2 -ρ2 = ---- - ∫ e ρ2 [ 2 - e ( 2 + ρ2 ) ] dρ2 2 a 0 2 e' Z ∞ -ρ2 -2ρ2 -2ρ2 2 = ---- - ∫ ( 2 e ρ2 - 2 e ρ2 - 2 e ρ2 ) dρ2 2 a 0 http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html 2 e' Z 1! 1! 2! = ---- - [ 2 ------- - 2 ------- - ------- ] 2 a 1^(1+1) 2^(1+1) 2^(2+1) 2 2 2 e' Z 1 1 e' Z 8 2 1 e' Z 5 = ---- - ( 2 - - - - ) = ---- - ( - - - - - ) = ---- - ( - ) 2 a 2 4 2 a 4 4 4 2 a 4 2 5 2 Z 5 e Z = - e' - = - ------ - 8 a 8 4πε0 a 還是得到一樣的結果！ -- 電子Dirac 方程式： [c(α．p) + β m0 c^2 + V( r )]Ψ = i hbar dΨ/dt -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.160.212.42 ※ 編輯: Frobenius 來自: 118.160.212.42 (04/27 02:46)

推

harry901

04/27 02:46, , 1^F

04/27 02:46, 1^F

推

feynman511

04/27 02:59, , 2^F

04/27 02:59, 2^F

→

Frobenius

04/27 03:00, , 3^F

04/27 03:00, 3^F