Re: 請教一題高中物理..謝謝
※ 引述《as77000 (as77000)》之銘言：
: ※ 引述《loshihhan (lim)》之銘言：
: : 如題...
: : 將一長度L(公尺)、線密度d(公斤/公尺)的的均勻圓形鐵鍊套在一個頂角角度為a的
: : 光滑圓錐上，若這個鐵鍊可以恰好圈住圓錐而不會滑落到圓錐底部, 試問此時鐵鍊的
: : 張力為若干?(重力加速度為g)
: : 參考答案為 (Ldg/2*pi)*cot(a/2)
: : 請問是怎麼解出來的呢??
: : 煩請諸位高手不吝賜教..謝謝..
前一篇已經有板友分享切成小塊的分析，
所以這邊我想可以再提供切一個成半圈的解法，
優點是不必考慮到小角度下的三角函數近似。
PS.因為打字方便的問題，所以請允許我將鐵鍊改為繩子 ^^"
Sol.
1.鉛直合力為零 :
因為圓錐表面光滑，所以圓錐僅提供繩子一垂直於該表面的正向力 : N
繩重力 = Ldg .......(1)
正向力的鉛直投影 = Ny = Nsin(a/2) .......(2)
由(1)=(2) ， 得 N = Ldg csc(a/2) .......(3)
2.水平合力為零 :
由 (3) 我們可進一步得知繩子在水平方向所受到的總力 : Nx
Nx = N cos(a/2) .......(4)
於是繩子 每單位長度 所受到的水平力為 :
Nx / L ........(5)
切入點 : 分析右半圈繩子受力
一. 繩張力 2T 向左
二. 作用在半圈上的水平正向力 往右 = ( Nx/L )‧(圓繩直徑) [參考表面張力章節]
= ( Nx/L )‧(2R)
= 2RNx / L [ 繩子總長 L = 2 pi R ]
= Nx / pi
由一. 二.
2T = Nx / pi --> T = Nx / 2pi .... (6)
其中 Nx = N cos(a/2) = Ldg csc(a/2)‧cos(a/2) [ 參考 (4) ]
= Ldg [1/sin(a/2)]‧cos(a/2)
= Ldg cot(a/2) 代回 (6) 式
得 T = (Ldg/2pi)cot(a/2) Solved
以上為了方便理解，所以步驟上講得較細一些，
一但領會後，將文字部份略去，數學一部份用心算都是可以快速得到答案的！
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補充:
二. 作用在半圈上的水平正向力 往右 = ( Nx/L )‧(圓繩直徑) [參考表面張力章節]
可能有些板友忘記為何可以將單位長度的受力直接乘上直徑，
其實原因就在於繩子所受的縱向合力 為零 ，所以僅須考慮水平方向的受力。
分析一小段繩長 dL 所受到的正向力為 (Nx/L)‧dL
但因為我們只須水平方向的受力，
所以便將該式乘以sin(b) ----> 變成 (Nx/L)‧dLsin(b)
(其中b為dL到圓心連線與縱軸的夾角)
從上式可以觀察到 dLsin(b)，就等同於dL往縱軸方向的投影，
也因此當我們把右半圈所有的dL受力都疊加起來的時候，
就等同於 (Nx/L) 要乘上 所有右半圈dL 往 左邊縱軸 的投影 (也就是該圓的直徑)
於是 (Nx/L)‧(2R) 便可得到。
如有疏漏 懇請指正 感恩
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※ 編輯: LQW 來自: 140.112.4.187 (03/31 17:04)
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