Re: [題目] 最佳通水斷面
※ 引述《zirconium (zirconium)》之銘言：
: [題目]
: 1.已知一三角形之通水斷面其夾角為2θ，水深為h，請證明其最佳通
: 水斷面是“等腰直角三角形”
: 2.已知一梯形通水斷面其斷面之邊坡y：x＝1：m，水深為h，底寬
: 為b，請證明其最佳通水斷面是“正六角形之一半”
: [瓶頸] 沒有頭緒 不知如何下手 可以給個建議嗎 ?
google說最佳水力斷面為相同截面積下，潤周最小之斷面
如果這定義沒錯的話
1.
設截面積為A
h^2tanθ = A
A
潤周 P = 2h/cosθ = 2√(Acotθ)/cosθ = 2√(-----------)
sinθcosθ
= 2√(2A/sin2θ)
在θ=45度時P有最小值
2.
hb + mh^2 = A = constant
求 P = b + 2h√(1+m^2) 之最小值
使用Lagrange乘數法
令 f(h,b,m,k) = b + 2h√(1+m^2) + k(hb + mh^2 - A)
f_h = 2√(1+m^2) + kb + 2kmh = 0
f_b = 1 + kh = 0
f_m = 2hm/√(1+m^2) + kh^2 = 0
f_k = hb + mh^2 - A = 0
=>
m = 1/√3
h = √(A/√3)
b = 2√(A/3√3)
h : b = √3 : 2
為正六邊形之一半
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