Re: [問題] 請問梯度 散度 和旋度的最初定義
※ 引述《ntust661 (661)》之銘言：
: 圖形
: ←
: (x,y+Δy) (x+Δx,y+Δy)
: ┌───┐
: │ │Δy
: ↓ │ │ ↑
: └───┘
: (x,y) Δx (x+Δx,y)
: →
: 得到 底部流量 P(x,y) Δx
: 頂部流量 - P(x+Δx,y+Δy)Δx
: 右邊流量 Q(x+Δx,y) Δy
: 左邊流量 - Q(x,y+Δy)Δy
: 放一起，
: - P(x+Δx,y+Δy) Δx + P(x,y) Δx + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y+Δy) Δy
: 這時候 加 P(x,y+Δy) 減 P(x,y+Δy) 加 Q(x+Δx,y+Δy) 減 Q(x+Δx,y+Δy)
: 會變成
: d P d P d Q d Q
: ( - ─── Δx - ─── Δy ) Δx + ( ─── Δx - ─── Δy ) Δy
: d x d y d x d y
: Δx 逼近趨近於零變成 dx
: Δy 逼近趨近於零變成 dy
: dxdx dydy 的項 小到不能在小...所以消掉。
推 chendaolong:仔細再看了一次，這篇推導是有問題的，dxdx & dydy是 12/05 17:09
→ chendaolong:跟dxdy同數量級的，不能無緣無故削掉。 12/05 17:10
先定義一個東西叫環量
→ → →
如在作用力場 F (x) 中，一直點沿封閉區線運轉一週時，場力 F 所做的功為：
→ → →
W = ∮F‧dx , 其中 dx 為線元素，積分為線的環積分
→ →
又或是在流速場 v (x) 中，積分
→ →
∮v‧dx
表示在單位時間內，沿封閉區線正向流動的環流 Q
→ →
又或是在磁場強度 H (x) 中，安培環路定律
→ →
∮H‧dx = I
表示對磁場強度沿封閉區線做積分等於總電流強度
所以數學上可以定義有上面形式的量都叫環量
→ →
Γ = ∮F‧dx = ∮{Pdx + Qdy + Rdz}
這個環量跟封閉曲線所圍的面積大小有關
如果我們要研究場中某個點 M 的性質
最簡單的方法就是把這個量除以面積，並將面積取極限：
→ →
∮ F‧dx
ΔΓ Δs
μ = lim ------ = lim ----------
n ΔA→M ΔA ΔA→M ΔA
→
其中μ 為環量面密度，它是跟面積ΔA的單位法向量 n 有關的
n
∮_Δs 表示對 A+ΔA 的環積分減掉對 A 的環積分
環量面密度，或簡稱環量密度，也就是環量對面積的變化率
要得到上式的明確表示式，先計算ΔΓ
→ →
ΔΓ = ∮ F‧dx = ∮ {Pdx + Qdy + Rdz}
Δs Δs ┌─┼┼──┐s+Δs
│P(s+Δs)dx│ ┌┼┼─┐s
其中 │ │ │P(s)dx│
∮( )dx = ∮( )dx -∮( )dx │ ↑ - │ ↑
Δs s+Δs s │ │ │ │
│ │ └───┘
└─────┘
┌─────┐
│┌───┐│
││ ││
= ├┤ ↓↑
││ ││
│└───┘│
└─────┘
再用 Stokes' theorem
http://tinyurl.com/yll3n7m
可得
ΔΓ=∫∫{(Ry - Qz)dydz + (Pz - Rx)dzx + (Qx - Py)dxdy}
ΔA
^ ^ ^ ^ ^ ^
=∫∫{(Ry - Qz)(n‧i) + (Pz - Rx)(n‧j) + (Qx - Py)(n‧k)}dA
ΔA
其中
Py = ∂P/∂y , Qx...
^ → ^
n 為面積 dA 的單位法向量，向量面積 dA = dA n
再用均值定理可得 ( http://tinyurl.com/yzn7dme )
^ ^ ^ | →
ΔΓ= {(Ry - Qz)i + (Pz - Rx)j + (Qx - Py)k}| ‧ΔA
|M'
取極限並定義符號
ΔΓ → → ^
μ = lim ---- = (▽×F)‧n
n ΔA→0 ΔA
^
其中括號內即是旋度，環量密度即是旋度沿著 n 方向的投影量
跟梯度與方向導數的定義很像
^
當 n 與旋度(梯度)同方向時，環量密度(方向導數)有最大值
所以旋度的意義為環量密度的最大值，其方向為環量隨面積變化最大的方向
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◆ From: 59.126.40.88
推
05/27 22:43, , 1F
05/27 22:43, 1F
推
07/16 15:20, , 2F
07/16 15:20, 2F
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