Re: [問題] 請問梯度散度和旋度的最初定義

看板Physics作者ntust661 (661)時間16年前 (2009/12/02 00:37)推噓4(4推 0噓 3→)

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來講旋度純粹討論二維度的旋度旋度，代表的是 (1)環流密度 (2)向量場的旋轉趨勢。在向量場中，我要開始找他的"旋度" 那要如何判別渦漩的大小呢? 就是看他一整圈流量積分(Flow)的大小而定 Flow Integral → → ∫ F ‧ T ds = 流量大小 c F 向量場 T 單位切線向量 ds 微小的曲線段 c 積分路徑它的物理意義，你想想看，水槽開始放水，你在水流中想像一個圓圈，是不是大部分(幾乎)的水流都會與你的圓圈"相切"呢? 再想一個，水龍頭的水往下落，到水槽的時候，會往外散開你想像一個圓圈，會發現水的流向與圓圈不相切(大部分是互相垂直)，這時候是不是沒有看到水在"旋轉"呢? 這時候看看流量原始的定義，我既然是與曲線相切的方向才會保留下來那保留下來的越多，代表順著曲線的流量越大，現在把曲線封起來成一個封閉曲線。是不是發現，流量越大，轉的趨勢會越大。現在，"旋度"這個東西我要從以上所描述的意義開始導出他的樣子。目標 : 計算旋度 (Curl) 已知 (1) 左下角我設為原點(x,y) (2) 微小單位的長度代表 Δx ，寬度代表 Δy (3) 向量場 F = < P(x,y) i + Q(x,y) j > (4) 逆時針為正圖形 ← (x,y+Δy) (x+Δx,y+Δy) ┌───┐ │ │Δy ↓ │ │ ↑ └───┘ (x,y) Δx (x+Δx,y) → 很簡單，既然是個不平滑的曲線，就分段來做。 Flow 總流量會等於以下的總和。 total -------------------------- Flow 頂部的流量 top + Flow 底部的流量 bottom + Flow 左邊的流量 left + Flow 右邊的流量 right --------------------------- 先計算底部流量定義 → → ∫ F‧T ds c 現在曲線 c 是條直線，然後因為 i 方向與底線平行，所以只留下 i 方向 P 則底部的流量 = P(x,y) Δx 其他依此類推得到底部流量 P(x,y) Δx 頂部流量 - P(x,y+Δy) Δx 右邊流量 Q(x+Δx,y) Δy 左邊流量 - Q(x,y)Δy 放一起， P(x,y) Δx - P(x,y+Δy) Δx + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y) Δy 會變成 d P d Q ( - ─── Δy ) Δx + ( ─── Δx ) Δy d y d x Δx 逼近趨近於零變成 dx Δy 逼近趨近於零變成 dy d Q d P ( ─── - ─── ) dx dy d x d y 這時候除以微小面積 dA = dx dy 就會變成你原本單純積分出來環流除面積 = 環流密度環流密度也就是旋度，所以你大概可以知道旋度的意義了吧? PS 有很多我還沒有說，現階段知道這些就夠了吧@.@~ -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.118.234.83

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Sakurai5566

12/02 01:15, , 1^F

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kenny2963

12/02 01:44, , 2^F

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chendaolong

12/02 07:47, , 3^F

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