Re: [問題] 量子力學中的角動量

看板Physics作者mantour (朱子)時間16年前 (2009/10/29 21:32)推噓3(3推 0噓 23→)

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最近很久沒發有意義的文XD chungweitw:參考一下 D. Judge, Phys. Lett. 5, 189 (1963) 幫摘要一下這篇文章這篇文章主要是在探討按照一般課本上看到的證明一個坐標 x，與其對應的momentum p (相應於算符 d/dx) 具有關係△p * △x >= h-bar/2 然而對於角動量和角度這個關係式顯然並不正確因為對任意的ψ(θ) 直觀上△θ最大時，應該是當θ平均分布時而此時的 △θ 為 pi/sqrt(3) ( 這邊微積分算一下便知，在下就不現醜了 ) 而不是無限大這邊要注意的是算△θ時，要考慮θ的周期性例如，如果θ有1/2的機率等於pi，1/2等於-pi 這樣算出來的△θ應該是 0 ，而不是 √[(pi^2+(-pi)^2)/2] = pi 因為實際上 -pi 和 pi應該是同一個角度所以△θ的定義和平常有點不同照這篇文章的寫法，令 pi V(r) = ∫ Ψ(θ+r)*(θ+r)Ψ(θ+r) dθ -pi 而 Δθ^2 = min V(r) r 而同這樣的定義，照一般導x-p uncertainty relation的方式可以得到(可惜這篇文章沒有把證明寫出來) ΔL_z Δθ[ 1 - 3 (Δθ)^2 ] >= h-bar/2 從而當ΔL_z -> 0時，Δθ -> pi/sqrt(3)，符合前面直觀的推測文章最後指出，導致 ΔL_z Δθ 的不確定原理和ΔpΔx 不一樣的原因在於 ^ L_z = -i h-bar d/dθ 只在 Ψ(-pi) = Ψ(pi) 時為hermitian ^ 但此時 L_z 對 θΨ 就不是 hermitian ，因此照一般ΔpΔx的證明下去推導的話就會產生錯誤。這邊我的解讀是一般generalized uncertainty principle的表示式為 ΔA^2 ΔB^2 >= (1/2i < [A,B] > )^2 代入 [x, p] = i h-bar，就得到ΔpΔx >= h-bar/2 但是在算 < [θ, Lz] > 時，可能會因為上述原因發生一些問題不過原文說詳細的討論寫在其他reference裡，所以目前我還沒有搞得很清楚總之，我可以得到二個結論 1. 角度的不確定值具有一個由範圍和周期性所限制的上限為 pi/sqrt(3) ( 即Ψ(θ)為平均分布時的不確定值 )，而不可能達到無限大 2. 角度和角動量的不確定性關係式與位置-動量的關係式不同因此1.的結果並沒有違反不確定原理有寫錯的話希望板友們多加指正謝謝 ※ 引述《joe70136 (Iron Man)》之銘言： : ※ 引述《slime036 (slime036)》之銘言： : : 今天吃飯和同學討論到角動量能不能為零 : : 我同學的觀點是古典力學中的角動量不能為零因為這樣就是靜止不動(...他因該是這 : : 樣說啦) 但量子力學中角動量可以為0 他是用L^2=L(L+1) L受主量子數影響可以為0 : : 但是我是用測不準原理去想角動量為0的話角度的不準度就會無限大這樣物理就不合 : : 就這樣討論了滿久也不知道誰對誰錯 : : 另外一個疑問是零點能量量力中的零點能量是指主量子數為零那項還是基態能量 : : 某孫有說過以波粒二像性來看所有粒子都有零點能量 : : 快被搞混了.... : 古典力學中，角動量可以為零。角動量為零僅表示物體"不轉動"，並非靜止不動。 : 量子力學中，角動量也可以為零，只是很怪，因為你"很難想像"一個繞著原子核在轉的 : 電子，其軌道角動量"可以為零"!(L=0)。 : 此外，我不清楚你如何利用Heisenberg's uncertainty principle推得出，當角動量為零 : 時，其角度的不準確度就會無限大。 : 換個說法，當角動量不為零時，角度的不準確度就不會無限大囉!? : -------------------------------------------------------------- : 就我對Heisenberg's uncertainty principle的認知 : (Delta_Theta)*(Delta_angular momentum) >= some constant : --(感謝chungweitw 大大 & mantour大大) : 我看不出來為什麼角動量等於零時，角度的不準確度才會無限大。 : -------------------------------------------------------------- : 另一方面，即使當角動量為零時，其角度的不準確度為無限大，那又怎樣? : 為什麼你會覺得不符合物理呢? (是因為角度的不準確度為無限大嗎??) : ---------------------------------------------------------------- : 當一個實驗"很精確地"測得一個粒子(這裡請容許我用"粒子"...)所擁有的動量時，其位置 : 的測量誤差就會趨向無限大，不是嗎? : ---------------------------------------------------------------- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.213.158 ※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (10/29 21:35) ※ 編輯: mantour 來自: 140.112.213.158 (10/29 21:37)

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