Re: [問題] 轉動
※ 引述《Keelungman (:3)》之銘言：
: ※ 引述《booksy (書呆)》之銘言：
: : 有一個題目是一個直立的木棍倒下，要求另一端的線速度
: : （觸地一端未滑動）
: : 解法是利用質心損失的位能等於轉動動能，
: : 想請問的就是，那線動能呢？為什麼可以不用考慮進去
: : 謝謝
: :
: 這問題的核心在於: 你要以哪個參考基準來計算運動?
: 如果是以觸地端當轉軸, 則整個動能項只有轉動
: 轉動慣量比較大, I=mL^2/3
: 如果以木棍質心當轉軸, 則動能項包含質心線動能與對質心轉動動能
: 轉動慣量比較小, I=mL^2/12
: 你可以算一下, 然後會發現這兩種算出來的端點速度是一樣的
: (注意一下, 這兩種算法所對應的角速度都一樣大)
: 然後偷偷告訴你為甚麼會這樣: 其實問題就在於平行軸定理
: 平行軸定理表面上是探討選取不同參考點當軸心時, 轉動慣量的變化
: 但是以動能的觀點來看, 這個完全對應到你移動轉軸參考點之後
: 重新計算新參考點線動能與轉動動能的配置
: 下課 :P
個人認為線動能和轉動動能是巨觀和微觀的差別
對棒子倒下來說，純粹就是一個功能原理
棒子受到的合功=棒子的動能變化
然而棒子受到的合功=重力對棒子做的功=重力對棒上的每個質點做的功的加總
如圖，http://0rz.tw/VrWAh
重力對棒上的每個質點於一小段距離內所做的功=F*ds=(dm)gsinθ*Ldθ
而從直立到倒下，重力對此質點所做的功=∫F*ds
而從直立到倒下，重力對整枝棒子做的功可將dm換成λdL在積分，
L π/2 L L
=∫∫ (λg)LsinθdθdL= mg - 此值就像是整隻棒子的質量都集中在-處，且重力
0 0 2 2
只對此點做功一樣，即大家熟知的重力對系統做的功=重力對質心做的功。
而棒子的動能變化=每個質點的動能變化的加總
每個質點的動能變化=0.5(dm)v^2˙˙˙˙˙˙就只是線動能!
又因為棒子是剛體，所以每個質點於相同時間會掃過相同角度(否則棒子會變形)
然而若掃過相同角度，就外圍的質點來說，走過的路徑弧長=rdθ會較長，且正比 r
又v=s/t，可知各質點 v正比r，每個質點的瞬時速度分布如圖二所示。又若角速度=ω
L 2 2 1 1 2 2 1 2
則棒子的動能變化=各個質點的加總=∫0.5λdL*L ω = -(-mL )ω = -Iω
0 2 3 2
即所謂棒子的轉動動能。
L 1 1 2 2
利用mg- = -(-mL )ω 如此一來可得棒子最外圍的速度=Lω=√(3gL)。
2 2 3
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但我還有一事搞不太清楚，想藉這一篇問一下
就是圖三，若"只"考慮棒子最外圍端點的功能原理，似乎會得到錯誤的答案?
棒子頭端點上的質點只受兩個力，正向力和重力，然而，顯然只有重力在質點畫弧
的時候有做功，而重力對此端點上的質點 從最高點到最低點做的功=(dm)gL=0.5(dm)v^2
然而v=√(2gL)顯然和上述結果不合，是少考慮了什麼呢?
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國產男：「幹你娘！」 「唉唷～好噁心！」「罵髒話！沒水準！」「低級！垃圾！」
ＡＢＣ：「幹你娘！」 「他會說髒話耶～」「哈哈～好可愛唷～」「少罵髒話唷～」
外國人：「幹你娘！」 「他要幹我娘耶～」「走開！是幹我娘！」「是幹我娘啦！」
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