Re: 問關於對易關係
※ 引述《tsaenogard.bbs@bbs.ccns.ncku.edu.tw (鄉長大明神)》之銘言:
: 想問當
: [A.BC]=B[A,C]+[A,B]C
: [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B
: 成立時,要滿足什麼條件嗎
: 其實我有上維基查,但我看不太懂,可以幫忙解釋一下嗎,貼上來
: 交換子
: 在抽象代數中,一個群的交換子(commutator)或換位子是一個二元運算元。設 g 及 h
: 是 群G 中的元素,他們的交換子是g^-1 h^-1 gh,常記為 [ g, h ]。只有當g和h符合交
: 換律(即 gh = hg )時他們的交換子才是這個群的單位元。
: 一個群G的全部交換子生成的子群叫做群G的導群,記作D(G)。
: 對等元
: 交換子有以下特性:
: [A,BC] = B[A,C] + [A,B]C
: [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
: http://0rz.com/20P3
說實話...翻譯成對易真的不知道是甚麼人翻出來的...
英文叫作commutativity,意思就是可交換性。
ab=ba =>乘法的可交換性
交換子就是定一種方式去量測兩個"東西"的可交換性...
這個可交換性就由該集合的運算去決定...
在群裡面唯一的結構就是乘法...
ab=ba 等同於aba^-1b^-1 =e, e表群的單位元...
所以才會定[a,b]=aba^-1b^-1
因此在群裡面,元素a,b是可交換的,那麼[a,b]=1
在線性算子裡,兩個線性算子可交換如果ab-ba=0。
因此我們定義[a,b]=ab-ba
當[a,b]=0時,a與b是可換的。
在群裡面,有個概念叫做同態f:G->H是一個群同態,
意思是f(ab)=f(a)f(b),意思是群G中的元素透過f
的作用後其群的乘法結構被某種程度的保持。
如果H是可交換的,那麼f(ab)=f(a)f(b)=f(b)f(a)=f(ba)
由此可發現f(aba^-1b^-1)=e
所以aba^-1b^-1就包含在f的核(kernel)中。
但我們知道群同態的核是一個群。這個群包含了所以[a,b]這樣的元素。
於是有人就會思考,那麼包含所有[a,b]最小的群長怎樣?
於是就可以開始定義所謂的commutator subgroup...
如果核是平凡的,那麼也代表著群G是交換群。
而群表現就是想把抽象的結構變成用矩陣來看
畢竟我們會算矩陣...
當然群表現跟群作用有很大的關聯性,這個關連在於研究一些現像的對秤性。
或是某些方程的不變量,如拉普拉斯方程是種球對稱的方程。
當然,交換群是相當簡單的。非交換群就變得粉複雜。
交換代數相對來說也比非交換代數難得多...
好吧~不閒扯太多...
大概就是這樣...
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.120.178.219
推
05/16 17:48, , 1F
05/16 17:48, 1F
→
05/16 17:48, , 2F
05/16 17:48, 2F
推
05/16 18:31, , 3F
05/16 18:31, 3F
討論串 (同標題文章)