Re: [物數] Factorial Function

看板Physics作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)時間18年前 (2008/02/24 23:09)推噓3(3推 0噓 0→)

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Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(zπ)

推

mouwat

02/24 21:51,

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推

Linderman

02/24 22:23,

02/24 22:23

Γ(z)Γ(1-z) = Γ(z)Γ(1-z)/Γ(z + 1 - z) = β(z,1-z) 1 z-1 (1-z)-1 y 1 = ∫ x (1 - x) dx ( let x = ──── , dx = ───── dy ) 0 y + 1 (y + 1)^2 z-1 ∞ y = ∫ ─── dy 0 1 + y z ∞ y = ∫ ───── dy 0 y (1 + y) ( 請參考 residue theory 中的 integrands with branch points) z 2πi y = ─────── Residue[ ───── , - 1 ] 1 - e^(iz2π) y (1 + y) z 2πi (1 + y) y = ─────── lim [ ───── ] 1 - e^(iz2π) y→ -1 y (1 + y) z 2πi y = ─────── lim [ ─ ] 1 - e^(iz2π) y→ -1 y z 2πi y = ─────── lim [ ─ ] 1 - e^(iz2π) y→e^iπ y izπ 2πi e = ─────── ─── 1 - e^(iz2π) e^iπ izπ 2πi e = ─────── ─── 1 - e^(iz2π) (-1) 2πi izπ = ─────── e e^(iz2π) - 1 2πi = ────────── e^(izπ) - e^(-izπ) π = ───────────── [e^(izπ) - e^(-izπ)]/2i π = ───── sin(zπ) # -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.122.225.109 ※ 編輯: Frobenius 來自: 140.122.225.109 (02/24 23:23)

推

Linderman

02/24 23:20, , 1^F

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Equalmusic

02/27 01:07, , 2^F

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phs

09/08 15:08, , 3^F

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