Re: [問題] (高中)等速圓周運動

看板Physics作者mantour (朱子)時間17年前 (2007/07/04 13:05)推噓4(4推 0噓 3→)

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我想仔細的討論這個問題需要用到一點微積分和order的觀念首先我們要理解到事實上a是一直隨時間而變的所以某一瞬時的 a 其實只作用了一段無限小的時間因此其造成的改變也是無限小的如果我們要計算一段t=0 ~ t=t 之間a造成的變化的話我們要做的事就是把t=0~t=t分成無限多段無限小的時間其中每一小段所造成的變化都是無限小然後把這無限多段所造成的無限小的變化加起來的結果可能有三種可能 1. 無限小 2. 等於某個不為0的值 3. 無限大這取決於每一小段中所造成的「無窮小」的變化到底是多小簡單來說如果把0~t分成N小段，每一小段Δt = t/N 如果每一小段Δt中造成的變化正比於Δt的一次方時(也就是正比於1/N) 那N段加起來(大約是乘以N倍), 當N趨於無窮大時就會趨於某個不是無窮小的值如果每一小段Δt中造成的變化正比於Δt的二次方或以上(正比於1/N^2 或以上) 那N段加起來，還是正比於1/N , 因此當N趨於無窮大時(分成無窮多段) 總和是無窮小同樣的如果每一小段的變化正比於 √Δt 的話可以預期，造成的總變化，會是無窮大因此我們了解到同樣是無窮小，還是有分等級的，這就是我所說的order的觀念接著我們可以分析在 a 作用一小段時間 Δt 後對v的大小和方向造成的改變屬於哪一個order aΔt <---- ^ | | v | | 因此v的大小改變量為 Δv = √(v^2 + a^2 Δt^2 ) - v 方向(以角度表示)的改變量為 Δθ = tan (aΔt/v) 其中 √(v^2 + a^2 Δt^2 ) 用二項式展開大約等於 v ( 1 + 1/2 a^2Δt^2/v^2 ) 因此 Δv = 1/2 a^2 Δt^2/v + (Δt的三次方以上的項) 而 Δθ 的展開則大約等於 (當角度很小時tanθ約等於θ) a Δt/v + (Δt的二次方以上的項) 因此在0~t之間令Δt趨近於無窮小，再把這無窮多段Δt加起來的總貢獻 ΣΔv = 0 ΣΔθ = a/v ΣΔt = a/v t 因此結論是圓週運動時 , 向心力造成的貢獻事實上只有方向上的改變沒有大小上的改變這是因為當a與v垂直時在無限小的時間Δt 內造成的速度大小變化是正比於Δt的平方或以上屬於第二級的無窮小量 (你可以想成是正比於無窮小的平方) 由前面的討論，我們知道當Δt趨於0時，這樣的變化(正比於Δt的二次方或以上)在一段時間內累積起來還是0 (想成無窮多個無窮小平方加起來還是無窮小) 你可以自己試試看分析當a與v不垂直時(假設夾角為α) 你會發現在無限小的時間內造成的速度大小變化算出來的第一項就會含有Δt的一次方項 (正比於無窮小的一次方) (如果沒算錯，這一項應該會是a cosαΔt) 因此當a與v不垂直時在一段時間內造成v的大小改變量的總和就不為0 (無窮多個無窮小的一次方加起來等於某個不為0的值) 而且造成的改變量正比於 a cosα, 也就是正比於a在平行v方向上的分量 ※ 引述《Arton0306 (科學主義)》之銘言： : ※ 引述《Arton0306 (科學主義)》之銘言： : : 等速圓周運動 : : 其加速度和運動方向垂直且指向圓心 : : 我的問題是 : : a : : <---^ : : | : : | v : : 圓心o | : : 如果a是指向圓心的方向 : : 那麼向量v加上向量a : : 其長度會比|v|還長這樣的話速度不就增加了嗎?? : : 請問這樣的想法盲點在哪裡呢?? : 推 idyllic:因為垂直，還有很小...很小... 07/01 15:16 : → windygod:座標獨立性垂直的加速度改變方向水平加速度改變大小 07/01 15:40 : 抱歉呀還是不懂@@" : 垂直的加速度改變方向水平加速度改變大小 : 這似乎是把xy座標分開來看 : 但我的問題是為什麼速率沒有增加呢？ : 就像將一物水平丟出其水平分量速率是不變的但總速率因重力是會增加的 : 將我上面畫的圖的v看成水平丟出 a看成重力那麼速率應該會增加 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.57.65.69 ※ 編輯: mantour 來自: 61.57.65.69 (07/04 14:12)

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