Re: [問題] 繩波波速的推導
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言：
: 大家都知道，繩波的波速 v = √(F/μ)。
: 我查了一些書，這個公式可以用解波動方程式得到，v是相速度。
: 但若以高中程度，我看課本或參考書上，都是用1.因次推導 2.圓週運動
: 我看不懂的是圓週運動這個推導方式。
: 這個方法大致上是這樣：
: 故意取一個和波同樣速度的座標系。這樣繩子看起來就會以相反方向運動。
: (不知道為什麼一定要這樣取)
因為好算
本來在靜止座標中，繩子上的每一點在原處做橫向運動
而繩子的波形不斷變化(一直往前跑)
所以每一點的運動變得很複雜(假如不是周期波的話)
但是這樣一取，變成反過來，波形不動，
那繩子就可以簡單的看成很多質點沿著固定的曲線軌道在跑
: 然後說在某瞬間，繩子高點處，一小段恰作圓週運動(超級無法理解)。
在曲線軌道上運動的質點的向心力就是 m v^2/r
r 是那一點的曲率半徑，方向是曲線的法線方向(指向凹的那一邊)
所謂曲率半徑的意思是說，一個曲線上的一小段的彎區程度
和半徑為r的圓一樣，也就是說，這個曲線的一小段，可以當作是一個圓的一小段
整條曲線就把它當成是很多不同大大小小的圓各取一小段接成的
所以當然任何一點上的運動都可以當作是圓周運東囉
至於為什麼要取最高點是因為最高點的一小段的左右可以當成是對稱的
這樣會比較好算
: 於是就計算此段繩子受的向心力，然後就用圓週運動公式推出v。
: 以上推導可以在Halliday普物波動(1)裡面找到。
: 不知道有沒有人可以解釋這個推導。
: 或是乾脆放棄這個方式(我自己總覺得這個方式很牽強)，有別的推導方式。
: 但是要適合高中程度的。
: thanks~
別的推導方式的話...
比較簡單的
可以直接分析一小段繩子的張力，導出波方程式
但是從波方程式看出波速要用到一點點微分方程
不曉得這樣適不適合高中程度
B
╱
/
A
A, B是一小段彎曲的繩子，之間的長度假設是 Δl
設A點處的切線方向和B點處的切線方向與水平的夾角分別是θa θb
A點受力為
水平 - T cos θa
鉛直 - T sin θa
B點受力為
水平 T cos θb
鉛直 T sin θb
這小段繩子受的合力為
水平 T ( cosθb - cosθa)
鉛直 T ( sinθb - sinθa)
因此這段繩子的加速度為
..
y * (μ Δl )= T Δ Sinθ
當Δl 很小時
Δl ~ secθ * Δx
Δsinθ ~ cosθ * Δθ ~ cos^3θ (d^2y/dx^2) Δx
( tanθ = dy/dx => sec^2θ dθ/dx = d^2y/dx^2 )
..
=> μy = T * cos^4 θ d^2y/dx^2
這邊我們必須假定振幅不大時 整條繩子上θ都很小 , cosθ ~ 1
..
=> y = T/μ y'' ( .. 表示對時間微分兩次，''表示對x微分兩次)
這個方程式的通解是
y = f( x ± √T/μ t) , f是任意的函數(也就是這個波的波形)
不會解的話可以直接代回去驗證看看
一般來說看到這個式子我們就知道 這個波的速度為 √(T/μ)
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