[中學] 跟大家來分享一題數學問題

看板Math作者 (scfw)時間1周前 (2026/02/21 19:18), 6天前編輯推噓13(13推 0噓 61→)
留言74則, 8人參與, 1周前最新討論串1/1
這是我高一時解過的一道很喜歡的數學問題，不知道這個時代還有沒有人看過這個問題。 你被困在一個半平面的森林中（就是有一條直線分割了世界，一邊是象徵困境的森林，一 邊是象徵平安的大平原）。 你唯一知道的事是你距離邊界的直線1公里。 試證明你只要走 (1+3^(1/2)+(pi)*7/6) 公里的長度就可以得救。 p.s. 已知 (1+3^(1/2)+(pi)*7/6) 這個數字就是最小值，但要證明就比較難了。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.43.133.99 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1771672720.A.00E.html
推
02/22 00:25, 1周前 , 1F
不太確定題目意思，直覺是先隨便往一個方向走1公里
02/22 00:25, 1F
→
02/22 00:25, 1周前 , 2F
，沒碰到邊界的話就開始繞半徑一公里的圓周走，最壞
02/22 00:25, 2F
→
02/22 00:25, 1周前 , 3F
是繞滿半圈，所以上界是(1+pi)公里。
02/22 00:25, 3F
這是解題第一步，要繞滿1圈才能滿足要求，這個上界是 1 + 2 * pi
推
02/22 00:58, 1周前 , 4F
樓上的方法不能確定你繞的半圈是對的半圈吧
02/22 00:58, 4F
→
02/22 01:03, 1周前 , 5F
我應該找到題目這個 1+√3+(7/6)π的路線了, 不過
02/22 01:03, 5F
→
02/22 01:03, 1周前 , 6F
這個要證明最小值確實不容易...
02/22 01:03, 6F
推
02/22 01:06, 1周前 , 7F
咦等一下, 我好像搞錯√3的位置了
02/22 01:06, 7F
→
02/22 01:08, 1周前 , 8F
我現在好像覺得 (7/6)π 應該要乘 √3
02/22 01:08, 8F
→
02/22 01:21, 1周前 , 9F
OK, 上面說的路線應該是錯的, 再想想
02/22 01:21, 9F
※ 編輯: swfswf (111.250.118.232 臺灣), 02/22/2026 08:45:39
推
02/22 10:39, 1周前 , 10F
對耶，最壞情況是繞滿一圈。那我得再想想了
02/22 10:39, 10F
推
02/23 00:36, 1周前 , 11F
Bellman's lost-in-a-forest problem
02/23 00:36, 11F
推
02/23 16:22, 1周前 , 12F
我看題目一直看到大安森林公園，這是幻術嗎？
02/23 16:22, 12F
推
02/23 19:39, 1周前 , 13F
走出去比一多一點點（有時候方向只偏一點）沒有的話
02/23 19:39, 13F
→
02/23 19:40, 1周前 , 14F
再回去繞那個圓，就不用繞整圈
02/23 19:40, 14F
→
02/23 19:47, 1周前 , 15F
用微積去優化多跑那一點是多少，這樣算出來數值大概
02/23 19:47, 15F
→
02/23 19:48, 1周前 , 16F
6.49(有closed form但有點難化簡)，好像還差一點
02/23 19:48, 16F
→
02/23 19:50, 1周前 , 17F
好像其實也不對，再想想好了
02/23 19:50, 17F
→
02/23 19:55, 1周前 , 18F
嗯我覺得是可以，走直線距離到R=1.272走右，還沒到
02/23 19:55, 18F
→
02/23 19:56, 1周前 , 19F
的話沿舊直線退回去到距離出發點1的位置(退回R-1)，
02/23 19:56, 19F
→
02/23 19:58, 1周前 , 20F
接下來不用繞一圈，只要繞2π-2arccos(1/R)弧度就好
02/23 19:58, 20F
→
02/23 19:58, 1周前 , 21F
但就是還不是最優化的解
02/23 19:58, 21F
→
02/23 20:23, 1周前 , 22F
closed form R^2=(1+√5)/2
02/23 20:23, 22F
→
02/23 20:37, 1周前 , 23F
如果往某方向走一公里，然後繞270度，再延著切線走
02/23 20:37, 23F
→
02/23 20:37, 1周前 , 24F
一公里，這樣是2+1.5pi
02/23 20:37, 24F
加油，思路正確，這是標準答案的一部份。
推
02/23 21:49, 1周前 , 25F
wrvuxci 的方式如果退回去走圓這一段改走切線到圓
02/23 21:49, 25F
→
02/23 21:50, 1周前 , 26F
這樣的極值好像會出現在 R=2/√3 的地方
02/23 21:50, 26F
→
02/23 21:50, 1周前 , 27F
雖然出現了√3 但總距離變成了√3+(5/3)π
02/23 21:50, 27F
→
02/23 21:51, 1周前 , 28F
(也或許我列式有錯, 不過走切線應該比退回去走好)
02/23 21:51, 28F
※ 編輯: swfswf (111.250.118.232 臺灣), 02/23/2026 22:29:43
→
02/23 22:58, 1周前 , 29F
您可能有誤解我的意思，剛走完R公里馬上退回去，這
02/23 22:58, 29F
→
02/23 22:58, 1周前 , 30F
時走切線會偏掉，兩個方法結合的話可以再優化一點點
02/23 22:58, 30F
→
02/23 22:58, 1周前 , 31F
6.48XD，反正方向不對的話我就不附圖了
02/23 22:58, 31F
推
02/23 23:14, 1周前 , 32F
仔細想想你的方法好像過早結束圓弧了的樣子...
02/23 23:14, 32F
→
02/23 23:16, 1周前 , 33F
02/23 23:16, 33F
→
02/23 23:16, 1周前 , 34F
AB 是你的 R, 你的路線好像是 A-B-O-C-D'
02/23 23:16, 34F
→
02/23 23:16, 1周前 , 35F
我是說不用回到 O 直接 B 直線到 C
02/23 23:16, 35F
→
02/23 23:16, 1周前 , 36F
不過這樣結束不能在 D' 而要到 D 才行
02/23 23:16, 36F
→
02/23 23:18, 1周前 , 37F
O到D' 跟 C到D 都是 2π-2arccos(1/R)
02/23 23:18, 37F
→
02/23 23:19, 1周前 , 38F
所以我在想要嘛你結束在D', 要嘛你確實停在D但多減
02/23 23:19, 38F
→
02/23 23:26, 1周前 , 39F
對到D'，沒有過早，因為AB這段距離中間都沒碰界代表
02/23 23:26, 39F
→
02/23 23:26, 1周前 , 40F
沒走的那段圓弧不是正確方向(相對於原來A點
02/23 23:26, 40F
推
02/23 23:28, 1周前 , 41F
我覺得不是, AB都沒碰到的話邊界可以是／虛線再過去
02/23 23:28, 41F
→
02/23 23:29, 1周前 , 42F
*再轉過去一點點
02/23 23:29, 42F
→
02/23 23:31, 1周前 , 43F
我的視角不一樣，我是說假如其中一條虛線就是正確的
02/23 23:31, 43F
→
02/23 23:32, 1周前 , 44F
邊界，例如右半邊虛線是正確的好了，走了R公里沒碰
02/23 23:32, 44F
→
02/23 23:33, 1周前 , 45F
界代表此時落在弧OCD'之中的某一個方向上(不一定B
02/23 23:33, 45F
推
02/23 23:34, 1周前 , 46F
02/23 23:34, 46F
→
02/23 23:34, 1周前 , 47F
如果邊界是橘虛線你的路線就碰不到邊了
02/23 23:34, 47F
→
02/23 23:34, 1周前 , 48F
我所謂再轉過去一點點的邊界是這樣的意思
02/23 23:34, 48F
→
02/23 23:35, 1周前 , 49F
我的圖是固定右邊虛線就是邊界(例如)，你只是不知道
02/23 23:35, 49F
→
02/23 23:36, 1周前 , 50F
一開始的直線是往哪
02/23 23:36, 50F
推
02/23 23:36, 1周前 , 51F
起手方向跟邊界是相對的, 一個未知另一個同樣未知
02/23 23:36, 51F
→
02/23 23:37, 1周前 , 52F
對，但我這個視角解釋得通，我不確定你的意思
02/23 23:37, 52F
→
02/23 23:37, 1周前 , 53F
固定邊界的視角你可以轉圖到你固定的邊界\
02/23 23:37, 53F
→
02/23 23:37, 1周前 , 54F
那在那個出發方向走你的路會碰不到邊
02/23 23:37, 54F
→
02/23 23:37, 1周前 , 55F
基本想法就是第一次可以走出去比1公里還遠一點,
02/23 23:37, 55F
→
02/23 23:38, 1周前 , 56F
然後用切線回到圓上, 再沿著圓走半圈多一點,
02/23 23:38, 56F
→
02/23 23:40, 1周前 , 57F
最後再沿著切線走出去一段完成路徑. 最後這段要考慮
02/23 23:40, 57F
→
02/23 23:42, 1周前 , 58F
OK我可能混淆了某些東西，你是對的
02/23 23:42, 58F
→
02/23 23:42, 1周前 , 59F
的是他跟第一次走出去的線段要合力可以跟中間那段
02/23 23:42, 59F
→
02/23 23:42, 1周前 , 60F
圓弧上所有切線都交到.
02/23 23:42, 60F
→
02/23 23:43, 1周前 , 61F
* 中間那段沒走過的圓弧的切線都交到
02/23 23:43, 61F
→
02/23 23:43, 1周前 , 62F
但6.48是對的，後面到剩90度走切線這樣應該沒錯，優
02/23 23:43, 62F
→
02/23 23:43, 1周前 , 63F
化的R是另一個值
02/23 23:43, 63F
→
02/23 23:47, 1周前 , 64F
答案那個最小值是對應到你第一次走出去 2/根號3
02/23 23:47, 64F
→
02/23 23:47, 1周前 , 65F
然後最後那段切線剛好只需要走 1
02/23 23:47, 65F
推
02/23 23:51, 1周前 , 66F
02/23 23:51, 66F
→
02/23 23:51, 1周前 , 67F
A-B-C-E-F 這樣, 然後 AB=2/√3 時最小是這個極值
02/23 23:51, 67F
→
02/24 00:02, 1周前 , 68F
啊, 沒注意到我上面算的極值 √3+(7/6)π 跟正解
02/24 00:02, 68F
→
02/24 00:02, 1周前 , 69F
差了正好 π/2-1 (上面那時是算 A-B-C-E-D)
02/24 00:02, 69F
→
02/24 00:03, 1周前 , 70F
...捲太上去了忘記上面打什麼, 總之就差這一步
02/24 00:03, 70F
→
02/24 00:03, 1周前 , 71F
最後面像 WINDHEAD 講的那樣走切線就對了
02/24 00:03, 71F
→
02/24 11:11, 1周前 , 72F
不確定ChatGPT會不會解，因為它最後好像去Reddit 偷
02/24 11:11, 72F
→
02/24 11:11, 1周前 , 73F
答案，詳參：
02/24 11:11, 73F
→
02/24 11:11, 1周前 , 74F
02/24 11:11, 74F
這是正解，成功解決這個問題的人，都經歷了以下4步驟： 1. 不失一般性，朝北走1公里，然後順時鐘繞出發點一圈單位圓，這樣一定能脫困，總長 度是 1+2*pi。 2. 一個聰明的想法，如果不去走最後一段1/4圓，走3/4圓後沿切線往北走1公里，一樣能 脫困，總長度減少為 2+pi*3/2。 3. 將2的想法套用到開始的階段，就會想到先朝東北走2^(1/2)公里，再往南走1公里，再 走半圓，再往北走1公里，這樣可以再快一點，因為開始走的直線長度2^(1/2)小於1/4圓 的長度，這樣總長度是2+2^(1/2)+pi。 4. 再分析一下能不能在2的走法和3的走法之間，找更優化的走法。最佳解是先往北方偏 東30度，走3^(1/2)*2/3公里，再轉120度朝南方偏東30度，走3^(1/2)/3公里，這一段剛 好是單位圓的切線，切點在東偏北30度，也就是東偏北pi/6的位置，再繞單位圓pi*7/6， 最後往北走1公里。這就是總長度 1+3^(1/2)+pi*7/6 的路線。這條路前面2段折線是正3 角形的一部份，而且和y=1的直線有相等的夾角，最後也與單位圓相切，是成為最佳解的 關鍵。 ※ 編輯: swfswf (114.24.169.111 臺灣), 02/24/2026 23:37:07
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