[其他] 判斷函數可否變數分離

看板Math作者 (SaltLake)時間8月前 (2025/07/15 04:07), 編輯推噓2(2推 0噓 14→)
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怎判斷一個多變數函數，得否針對某些變數分離成個別函數? 例如: f(x,y) = g(x)*h(y) 或者是另一種判斷，確認某個多變數函數不能針對某些變數分 離為個別的函數? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.252.39 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1752523624.A.281.html
推
07/15 05:49, 8月前 , 1F
R^n空間嗎?
07/15 05:49, 1F
→
07/15 05:50, 8月前 , 2F
想到的是隱函數定理
07/15 05:50, 2F
→
07/15 05:50, 8月前 , 3F
但這只保證在局部能分解
07/15 05:50, 3F
→
07/15 05:52, 8月前 , 4F
前提條件是f要連續可微
07/15 05:52, 4F
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07/15 05:52, 8月前 , 5F
局部是指f(x,y)=0的點
07/15 05:52, 5F
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07/15 05:53, 8月前 , 6F
若f_x或f_y不等於0(因為一維)
07/15 05:53, 6F
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07/15 05:55, 8月前 , 7F
則此函數在該點可將x以y表達/y以x表達
07/15 05:55, 7F
推
07/15 13:57, 8月前 , 8F
如果是的話，f(x,0)為g(x)常數倍，可取g(x)=f(x,0)
07/15 13:57, 8F
→
07/15 13:58, 8月前 , 9F
但如果f(x,0)恆為零就要小心，可能把0換其他點
07/15 13:58, 9F
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07/15 13:58, 8月前 , 10F
然後檢查f(x,y)/g(x)是不是與x無關
07/15 13:58, 10F
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07/15 14:04, 8月前 , 11F
不是就得矛盾，代表沒有這種分解
07/15 14:04, 11F
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07/15 14:04, 8月前 , 12F
是的話就令h(y)=f(x,y)/g(x)
07/15 14:04, 12F
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07/15 14:21, 8月前 , 13F
找一點(a,b)使得對所有x,y f(a,y)和f(x,b)都不為0
07/15 14:21, 13F
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07/15 14:22, 8月前 , 14F
如果找得到的話, 只要檢查f(x,y)/[f(a,y)f(x,b)]
07/15 14:22, 14F
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07/15 14:22, 8月前 , 15F
是否為常數
07/15 14:22, 15F
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07/15 14:23, 8月前 , 16F
如果找不到的話...還沒想出來...請其他高手解答
07/15 14:23, 16F
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