[代數] 請教一題Sylow定理的題目

看板Math作者 (Bingo)時間9月前 (2025/03/14 17:03), 編輯推噓1(1推 0噓 9→)
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推
03/14 22:33, 9月前 , 1F
由Sylow定理，n_p(Sylow-p subgroup的個數)必整除q
03/14 22:33, 1F
→
03/14 22:35, 9月前 , 2F
且n_p被p除需餘1，已知p>q，同時滿足這些條件只有
03/14 22:35, 2F
→
03/14 22:36, 9月前 , 3F
n_p=1，再由Sylow定理可知G的Sylow p-subgroup是
03/14 22:36, 3F
→
03/14 22:37, 9月前 , 4F
normal subgroup，它的order為p^n 所以就是一個
03/14 22:37, 4F
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03/14 22:37, 9月前 , 5F
proper normal subgroup，以上是第一題
03/14 22:37, 5F
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03/14 22:39, 9月前 , 6F
以上是(a)才對。(b)的部份：對任意一個x,都有
03/14 22:39, 6F
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03/14 22:41, 9月前 , 7F
|O_x|≦|X|=q，又由公式知|O_x|需為|G|的因數，所以
03/14 22:41, 7F
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03/14 22:42, 9月前 , 8F
|O_x|只能是1或q（這裡又用到p>q）。如果有一個
03/14 22:42, 8F
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03/14 22:42, 9月前 , 9F
|O_x|=q，那就是transitive（所以其實全部|O_x|=q）
03/14 22:42, 9F
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03/14 22:43, 9月前 , 10F
否則就所有|O_x|=1，那就是trivial的情形
03/14 22:43, 10F
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