[線代] 類似勞侖茲變換的證明

看板Math作者 (朱子)時間1年前 (2024/08/19 19:56), 編輯推噓23(23推 0噓 114→)
留言137則, 6人參與, 1年前最新討論串1/2 (看更多)
已知 A 是一個 2x2 實矩陣，且 det(A) = 1。 對於任意實數 x 和 y，有以下變換關係： [x'] = A [x] [y'] [y] 並且滿足： x^2 - y^2 = 0 <=> x'^2 - y'^2 = 0 我想證明： 1. 對於任意實數 x 和 y， x'^2 - y'^2 = x^2 - y^2。 2. 矩陣 A 的形式為： A = ± 1/√(1-v^2) * [1 v] [v 1] 其中 -1 < v < 1。 請教除了設 A = [a b] [c d] 下去硬爆之外有沒有什麼好方法 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.137.23.106 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1724068596.A.680.html
推
08/20 01:01, 1年前 , 1F
可以考慮A[1,1]和A[-1,1]是什麼 基本上有兩種情形
08/20 01:01, 1F
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08/20 01:01, 1年前 , 2F
［c,c] [d,-d] 和反過來 這樣就可以解出A了 然後2只
08/20 01:01, 2F
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08/20 01:01, 1年前 , 3F
是第一種情況 還有二種某個v要加負號
08/20 01:01, 3F
推
08/20 01:11, 1年前 , 4F
你要證的東西都只對第一種情況對 第二種都不對 反例
08/20 01:11, 4F
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08/20 01:11, 1年前 , 5F
見A=［［0,-1], [1,0]]
08/20 01:11, 5F
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08/20 01:17, 1年前 , 6F
感謝
08/20 01:17, 6F
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08/20 01:20, 1年前 , 7F
所以加上第二種情況 x'^2-y'^2 = +/- (x^2-y^2)
08/20 01:20, 7F
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08/20 10:10, 1年前 , 8F
請問m大det(A)=1的意義是什麼?
08/20 10:10, 8F
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08/20 10:38, 1年前 , 9F
請問H大怎麼知道要對[1,1]和[-1,1]乘以A呢?
08/20 10:38, 9F
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08/20 10:40, 1年前 , 10F
A應該是未知的，A[1 1]怎麼知道是什麼?
08/20 10:40, 10F
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08/20 11:13, 1年前 , 11F
回樓上，因為 x'^2-y'^2=0, 所以
08/20 11:13, 11F
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08/20 11:13, 1年前 , 12F
x'=+/- y', 如果A[1,1]取x'=y', A[1,-1]就只能取x'
08/20 11:13, 12F
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08/20 11:13, 1年前 , 13F
=-y'，或是反過來
08/20 11:13, 13F
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08/20 11:18, 1年前 , 14F
設det(A)=1是因為我希望有det(A) = det(A^-1), 所
08/20 11:18, 14F
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08/20 11:18, 1年前 , 15F
以det(A)^2=1, 又我不要鏡像，所以希望det(A)>0
08/20 11:18, 15F
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08/20 11:20, 1年前 , 16F
再請問m大det(A) = det(A^-1)有什麼特別物理意義嗎
08/20 11:20, 16F
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08/20 11:21, 1年前 , 17F
看懂了,謝謝m大
08/20 11:21, 17F
推
08/20 14:49, 1年前 , 18F
可能要加上保持時間方向的條件才能推出那些性質
08/20 14:49, 18F
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08/20 19:16, 1年前 , 19F
請問樓上保持時間方向的條件是什麼？(ct)^2-x^2>0?
08/20 19:16, 19F
推
08/20 21:19, 1年前 , 20F
使得t>0的Lorentz boost
08/20 21:19, 20F
推
08/20 22:57, 1年前 , 21F
if t>0,則經過boost後,t'也要>0
08/20 22:57, 21F
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08/21 10:47, 1年前 , 22F
謝謝，時間要是正向的
08/21 10:47, 22F
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08/21 11:47, 1年前 , 23F
抱歉m大，我沒有看懂為什麼需要det(A)=det(A^-1)?
08/21 11:47, 23F
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08/21 15:05, 1年前 , 24F
我一開始先推出 x^2-y^2 = det(A) (x^2-y^2)
08/21 15:05, 24F
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08/21 15:06, 1年前 , 25F
才回頭去設det(A)=1
08/21 15:06, 25F
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08/21 15:06, 1年前 , 26F
考慮上面的第二種情況應該是
08/21 15:06, 26F
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08/21 15:06, 1年前 , 27F
x^2-y^2 = +/- det(A) (x^2-y^2) 才對
08/21 15:06, 27F
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08/21 15:08, 1年前 , 28F
至於det(A)=1的意義, 我只能想到v=-v的時候平行四邊
08/21 15:08, 28F
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08/21 15:09, 1年前 , 29F
型面積如果會從變大改成變小好像不太合理
08/21 15:09, 29F
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08/21 15:10, 1年前 , 30F
更正 v 變成 -v的時候
08/21 15:10, 30F
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08/21 19:42, 1年前 , 31F
m大的 x^2-y^2 = +/- det(A) (x^2-y^2)最初怎麼得到
08/21 19:42, 31F
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08/21 19:42, 1年前 , 32F
的呢?
08/21 19:42, 32F
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08/21 21:42, 1年前 , 33F
跟一樓作法差不多, 因為x=y跟x=-y上的點變換後還是
08/21 21:42, 33F
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08/21 21:43, 1年前 , 34F
要在這兩條線上, 所以以這兩個方向為基底伸縮
08/21 21:43, 34F
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08/21 21:43, 1年前 , 35F
(沒考慮到這兩個方向轉90度互換的case)
08/21 21:43, 35F
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08/21 21:48, 1年前 , 36F
如果把任意x,y分解成(1,1)跟(1,-1)的線性組合
08/21 21:48, 36F
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08/21 21:49, 1年前 , 37F
變換後(1,1)變成(a,a), (1,-1)變成(b,-b)
08/21 21:49, 37F
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08/21 21:50, 1年前 , 38F
代進去化簡一下就會得到 x'^2-y'^2 = ab(x^2-y^2)
08/21 21:50, 38F
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08/21 21:50, 1年前 , 39F
如果(1,1)變成(a,-a), (1,-1)變成(b,b)
08/21 21:50, 39F
還有 58 則推文
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08/26 12:19, 1年前 , 98F
c不變量啦 我聽說光速不變是物理定律在慣性座標系
08/26 12:19, 98F
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08/26 12:21, 1年前 , 99F
有相同型式,即要用張量表式,的特例,Einstein特別把
08/26 12:21, 99F
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08/26 12:21, 1年前 , 100F
光速不變抓出來 因為很重要的關係.
08/26 12:21, 100F
推
08/26 12:26, 1年前 , 101F
黎曼幾何ds^2已經假定是座標變換不變量不是嗎
08/26 12:26, 101F
推
08/26 14:32, 1年前 , 102F
我好像說錯.應該是附加結構y
08/26 14:32, 102F
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08/26 14:32, 1年前 , 103F
left-invariant metrics on Lie groups
08/26 14:32, 103F
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08/27 00:04, 1年前 , 104F
光速恆定是實驗結果，慣性座標未必要是黎曼空間，
08/27 00:04, 104F
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08/27 00:04, 1年前 , 105F
如果必須以黎曼幾何為前提，那就是額外的公設了
08/27 00:04, 105F
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08/27 00:07, 1年前 , 106F
牛頓力學在伽利略變換下也滿足“慣性座標，物理定
08/27 00:07, 106F
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08/27 00:07, 1年前 , 107F
律不變”
08/27 00:07, 107F
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08/27 00:08, 1年前 , 108F
所以相對性原理本身並沒有限定是在哪一種變換下物
08/27 00:08, 108F
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08/27 00:08, 1年前 , 109F
理定律有不變性。
08/27 00:08, 109F
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08/27 00:15, 1年前 , 110F
數學上直接從Minkoski spacetime出發，不會有任何
08/27 00:15, 110F
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08/27 00:15, 1年前 , 111F
問題。但是應該有一個合理的論證“為什麼要是Minko
08/27 00:15, 111F
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08/27 00:15, 1年前 , 112F
wski spacetime"，而這樣的論證是否是數學上的有效
08/27 00:15, 112F
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08/27 00:15, 1年前 , 113F
論證，還是物理學家偷渡了一些隱藏的假設，有沒有
08/27 00:15, 113F
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08/27 00:15, 1年前 , 114F
一套物理公設可以導出狹義相對論空間必須是Minkows
08/27 00:15, 114F
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08/27 00:15, 1年前 , 115F
ki soacetime?
08/27 00:15, 115F
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08/27 00:17, 1年前 , 116F
不過好像離原本問題很遠了，這應該超出我的程度，
08/27 00:17, 116F
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08/27 00:17, 1年前 , 117F
感謝大大的分享。
08/27 00:17, 117F
推
08/27 16:25, 1年前 , 118F
光速在慣性座標變換下當然是是實驗結果,Michaelson-
08/27 16:25, 118F
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08/27 16:28, 1年前 , 119F
Morley干涉儀實驗.但Einstein把它提升到公設,而其他
08/27 16:28, 119F
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08/27 16:30, 1年前 , 120F
物理學家如Poincare,Lorentz卻沒有這樣做,導致狹義
08/27 16:30, 120F
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08/27 16:31, 1年前 , 121F
相對論的發明者歸於Einstein.黎曼幾何當然是彎曲空
08/27 16:31, 121F
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08/27 16:33, 1年前 , 122F
間.Minkowski spacetime才是平坦的.幾何學要先給定
08/27 16:33, 122F
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08/27 16:37, 1年前 , 123F
曲面方程式或度規吧.相對論性原理有2種,狹義的是要
08/27 16:37, 123F
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08/27 16:38, 1年前 , 124F
求慣性座標變換,廣義的是任意座標變換diffeomorphis
08/27 16:38, 124F
→
08/27 16:41, 1年前 , 125F
m.你當然可以做其他空間的相對論,如AdS、dS、confor
08/27 16:41, 125F
→
08/27 16:46, 1年前 , 126F
mal、sphere、torus、hyperelliptic curve、Calabi-
08/27 16:46, 126F
→
08/27 16:49, 1年前 , 127F
Yau、Jackiw-Teitelboim、Chern-Simons gravity 等
08/27 16:49, 127F
推
08/27 16:53, 1年前 , 128F
signiture是(-+++)又平坦的、open應該只有Minkowski
08/27 16:53, 128F
→
08/27 16:55, 1年前 , 129F
我前面說過光速不變公設是狹義相對論性原理的特例
08/27 16:55, 129F
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08/27 16:57, 1年前 , 130F
即光速不變是一種物理定律.感覺怪怪的,又是公設又是
08/27 16:57, 130F
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08/27 16:57, 1年前 , 131F
定律.
08/27 16:57, 131F
→
08/27 16:59, 1年前 , 132F
光速在任意慣性座標變換下不變,光速是constant
08/27 16:59, 132F
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08/27 17:00, 1年前 , 133F
光速是constant 4-velocity
08/27 17:00, 133F
推
08/27 17:07, 1年前 , 134F
Poincare,Lorentz應該是要求光需要介質來傳遞 以太
08/27 17:07, 134F
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08/27 17:08, 1年前 , 135F
Einstein是丟掉以太,並提出2個公設而被公認為狹義相
08/27 17:08, 135F
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08/27 17:09, 1年前 , 136F
對論的發明者。
08/27 17:09, 136F
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08/27 22:51, 1年前 , 137F
謝謝t大詳細的說明
08/27 22:51, 137F
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