Re: [中學] 2016台大大學部申請入學電機二階筆試
※ 引述《swfswf (scfw)》之銘言：
: ※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: : 給定一圓錐曲線(形狀有一點像是拋物線的一部分)
: : 題目：如何用筆、尺與量角器，得知此曲線為何種圓錐曲線？
: : (題目來源應該是當年的考生記出來的)
: : 如果沒有圓規……，我懷疑題目沒記清楚
: 做為一個有趣的問題，題目應該是給定一段圓錐曲線，怎樣用尺規作圖，判斷這是橢圓、
: 雙曲線、還是拋物線呢？
: 用以下圓錐曲線的特性即可，作一組平行線L1, L2相交圓錐曲線C於2個線段P1Q1和P2Q2，
: P1Q1的中點M1和P2Q2的中點連線形成的直線K，如果：
: C是拋物線：K會和準線平行
這裡怪怪的
你討論的準線定義跟我記憶中不同，但是無傷大雅，下面依據你的方法整理標準流程
: C是橢圓或雙曲線：K會通過橢圓或雙曲線的中心
: 根據以上的性質，我們可以作2組不同的平行線和C相交，截出的線段中點連線為K1，K2：
: 如果K1和K2平行，C是拋物線。
: 如果K1和K2相交點為P，C曲線像是繞著它轉，C是橢圓，否則C是雙曲線。
所以標準作法：
作四條線，兩兩一組平行，兩組互不平行
每一條線與圓錐曲線交於兩點，取其中點
=>從圓錐曲線段的兩端點AB連線得到L1
=>從其中一端點A作一L2交圓錐曲線於C
=>從C作一L3平行L1(量角器派上用場)交圓錐曲線於D
=>從D作一L4平行L2(量角器再次派上用場)交圓錐曲線於E
AB的中點M11與CD的中點M12連線作K1
BC的中點M21與DE的中點M22連線作K2
找出K1與K2的關係
1. 平行=>拋物線
使用量角器判斷是否平行
如果不平行的話，可以由同側角與180度的關係判斷兩線交點
2. 相交於圓錐曲線的凹側=>橢圓
3. 相交於圓錐曲線的凸側=>雙曲線
: 至於上述圓錐曲線的特性如何證明呢？
: 拋物線的情形，不失一般性，假定C的方程式是
: y=a*x^2
: y=mx+t為一族直線，m為常數，t為任意實數
: 給定t的一條直線交於C的2個點的x座標滿足方程
: a*x^2 - mx - t = 0
: 兩根和的平均為m/(2*a)
: 代入y=mx+t得到y=m^2/(2*a)+t
: (m/(2*a), m^2/(2*a)+t)為一平行準線y軸的直線。
: 橢圓或雙曲線的情形，不失一般性，假定C的方程式是
: x^2 + a*y^2 - 1 = 0, a>0為橢圓, a<0為雙曲線，中心就是原點。
: y=mx+t為一族直線，m為常數，t為任意實數
: 給定t的一條直線交於C的2個點的x座標滿足方程
: x^2 + a*(mx+t)^2 - 1 = 0
: 展開得
: (1+a*m^2)*x^2 + 2*a*m*t*x + a*t^2 - 1 = 0
: 兩根和的平均為 - a*m*t/(1+a*m^2)
: 代入y=mx+t得到 y = - m * a*m*t/(1+a*m^2) + t = t/(1+a*m^2)
: (-a*m*t/(1+a*m^2), t/(1+a*m^2))為一條過原點的直線。
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