Re: [中學] 2016台大大學部申請入學電機二階筆試
※ 引述《hau (小豪)》之銘言:
: 給定一圓錐曲線(形狀有一點像是拋物線的一部分)
: 題目:如何用筆、尺與量角器,得知此曲線為何種圓錐曲線?
: (題目來源應該是當年的考生記出來的)
: 如果沒有圓規……,我懷疑題目沒記清楚
做為一個有趣的問題,題目應該是給定一段圓錐曲線,怎樣用尺規作圖,判斷這是橢圓、
雙曲線、還是拋物線呢?
用以下圓錐曲線的特性即可,作一組平行線L1, L2相交圓錐曲線C於2個線段P1Q1和P2Q2,
P1Q1的中點M1和P2Q2的中點連線形成的直線K,如果:
C是拋物線:K會和對稱軸平行
C是橢圓或雙曲線:K會通過橢圓或雙曲線的中心
根據以上的性質,我們可以作2組不同的平行線和C相交,截出的線段中點連線為K1,K2:
如果K1和K2平行,C是拋物線。
如果K1和K2相交點為P,C曲線像是繞著它轉,C是橢圓,否則C是雙曲線。
至於上述圓錐曲線的特性如何證明呢?
拋物線的情形,不失一般性,假定C的方程式是
y=a*x^2
y=mx+t為一族直線,m為常數,t為任意實數
給定t的一條直線交於C的2個點的x座標滿足方程
a*x^2 - mx - t = 0
兩根和的平均為m/(2*a)
代入y=mx+t得到y=m^2/(2*a)+t
(m/(2*a), m^2/(2*a)+t)為一平行y軸,也就是對稱軸的直線。
橢圓或雙曲線的情形,不失一般性,假定C的方程式是
x^2 + a*y^2 - 1 = 0, a>0為橢圓, a<0為雙曲線,中心就是原點。
y=mx+t為一族直線,m為常數,t為任意實數
給定t的一條直線交於C的2個點的x座標滿足方程
x^2 + a*(mx+t)^2 - 1 = 0
展開得
(1+a*m^2)*x^2 + 2*a*m*t*x + a*t^2 - 1 = 0
兩根和的平均為 - a*m*t/(1+a*m^2)
代入y=mx+t得到 y = - m * a*m*t/(1+a*m^2) + t = t/(1+a*m^2)
(-a*m*t/(1+a*m^2), t/(1+a*m^2))為一條過原點的直線。
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